1. Назначение, общие понятия и применение anova.

Дисперсионный анализ — аналитико-статистический метод изучения влияния отдельных переменных, а также их сочетаний на изменчивость изучаемо­го признака.

Дисперсионный анализ, предложенный Р. Фишером, являет­ся статистическим методом, предназначенным для выявления влияния ряда отдельных факторов на результаты экспериментов. Этот метод базируется на предположении о том, что если на объект (группу испытуемых) влияет несколько независимых факторов и их влияние складывается, то общую дисперсию зна­чений признака, характеризующую объект (группу испытуе­мых), можно разложить на сумму дисперсий, возникающих в ре­зультате воздействия каждого отдельного фактора, а также обус­ловленных случайными влияниями (остаточная дисперсия). Сравнение дисперсий, обусловленных влиянием различных фак­торов, со случайной (остаточной) дисперсией позволяет оце­нить значимость вклада каждого из факторов, т.е. оценить досто­верность этих влияний.

В основе дисперсионного анализа лежит предположение, что одни переменные могут рассматриваться как причины, а другие как следствия. При этом в психологических исследованиях имен­но переменные, рассматриваемые как причины, считаются фак­торами (независимыми переменными), а вторые переменные, рассматриваемые как следствия, — результативными признака­ми (зависимыми переменными). Независимые переменные назы­вают иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте психолог имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат. Таким образом, диспер­сионный анализ может выступать как метод, направленный на изучение изменчивости признака под влиянием каких-либо кон­тролируемых факторов. Он позволяет выявить взаимодействие двух или большего числа факторов в их влиянии на один и тот же результативный признак (зависимую переменную).

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчлене­нии общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компо­ненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и про­верке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуе­мый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F — критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловле­на действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых фак­торов дисперсионный анализ может быть однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты экспери­мента), двухфакторным (при изучении влияния двух факторов) и многофакторным.

2. Однофакторный дисперсионный анализ anova.

Однофакторный дисперсионный анализ, используемый для несвязных выборок. Оперируя как основным понятием дисперсии, этот анализ бази­руется на расчете дисперсий трех типов:

•• общая дисперсия, вычисленная по всей совокупности экспе­риментальных данных;

•• внутригрупповая дисперсия, характеризующая вариативность признака в каждой выборке;

•• межгрупповая дисперсия, характеризующая вариативность групповых средних.

Основное положение дисперсионного анализа гласит: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дис­персий.

Суммарная дисперсия может быть выражена уравнением:

D_y = D_x + D_z ,

где D_y - сумма квадратов отклонений отдельных вариант всего комплекса наблюдений от общей средней,

D_x — сумма квадратов откло­нений в комплексах (группах) частного среднего от общей средней, умно­женная на число вариант в группах, ,

D_z — сумма из сумм квадра­тов отклонений отдельных вариант от их групповых средних.

Путем соотнесения сумм квадратов отклонений к числу степеней свободы (df) получают выборочные дисперсии:

а) общую по комплексу

D_y

S_y² = df_y

б) межгрупповую, или факторную,

D_x

S_x² = df_x

в) внутригрупповую, или остаточную,

D_z

S_z² = df_z

S_x²

Отношение S_z² — служит критерием оценки влияния на признак регулируемых в опыте факторов ( F-критерий Фишера). Дальнейший анализ проводится путем проверки нуль-гипотезы, сводящейся к предположению о равенстве межгрупповых средних и дисперсий (т. е. никакого систематического действия факторов на результативный признак нет, наблюдае­мые различия в групповых средних слу­чайны). Нулевая гипотеза отвергается при F ≥ F_кр , значение F_кр определяется по статистическим таблицам с учетом приня­того уровня значимости и числа степе­ней свободы.

После доказательства действия регу­лируемого фактора на результирующий признак переходят, если необходимо, к сравнению групповых средних друг с дру­гом или другими показателями. Заклю­чительный этап дисперсионного анализа — оценка силы вли­яния отдельных факторов (или их групп) на результирующий признак.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет учи­тывать не только влияние каждого факто­ра на результирующий признак по отдель­ности, но и совместное действие факторов во всех возможных сочетаниях. Действие неучтенных факторов оценивается не дифференцированно, а суммарно.

Дисперсионный анализ допускает статистическое исследование признаков, выраженных не только в абсолютных количественных единицах, но и в относительных или условных баллах и индексах.

Третий раздел. Многомерные методы и модели.

Тема: «Факторный анализ»