13.Связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями
Напомним определение неограниченной последовательности (Определение 29.).
Последовательность
называется неограниченной, если для
любого сколь угодно большого числа
найдется такой член последовательности
для которого выполняется неравенство
или
.
Рассмотрим последовательность :
Легко понять, что она является
неограниченной. Действительно, какое
бы большое число
мы ни взяли на
позиции будет стоять число, большее,
чем
.
Поставим вопрос:
является ли неограниченная последовательность
бесконечно большой? Обратимся опять к
Пример 39.. Мы видим, что на
позиции стоит число, большее, чем
,
на
позиции находится
,
и неравенство
– неверно; поэтому вывод таков: если
последовательность неограниченна, то
она не обязана быть бесконечно большой.
Но если бесконечность является бесконечно большой, то она, безусловно, не ограничена (см. Пример 38.).
14.Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями
Рассмотрим две
последовательности:
и
:
- бесконечно малая, а
- бесконечно большая, но
,
причем
.
Если – бесконечно малая и , то
– бесконечно большая, и наоборот: если
– бесконечно большая, то
– бесконечно малая.
пусть – бесконечно малая и , это значит, что .
Рассмотрим
неравенство
,
используя свойства неравенств с
положительными членами, получим
.
Пусть теперь
,
и является сколь угодно большим, если
– сколь угодно мало и положительно.
Тогда имеем:
,
то есть
– бесконечно большая.
Аналогично, если
– бесконечно большая, то
;
рассмотрим неравенство
,
отсюда следует, что
,
пусть
,
и является сколь угодно малым, если
– сколь угодно велико; итак,
;
значит,
– бесконечно малая.
Последовательности
,
,
,
(см. Пример 41.) - являются бесконечно
малыми.
Упражнения к
Выпишите первые пять членов последовательностей, заданных формулами:
;
;
;
.Выпишите первые пять членов последовательности, составленной из десятичных приближений по избытку для числа
.Найдите хотя бы одну формулу общего члена для следующих последовательностей:
;
;
;
;
Последовательность задана рекуррентным соотношением:
.
Известно, что
.
Выпишите первые десять членов этой
последовательности.Докажите, что последовательность с общим членом
монотонно убывает, а с общим членом
- монотонно возрастает.Пусть
- периметр правильного
-угольника,
вписанного в окружность радиуса
.
Докажите, что последовательность
монотонно возрастает.Монотонны ли последовательности, заданные формулами:
;
;
?Последовательность
задана рекуррентным соотношением:
,
причем
.
Докажите, что эта последовательность
монотонно убывает.Последовательность задана рекуррентным соотношением:
,
причем
.
Докажите, что эта последовательность
монотонно возрастает.Докажите ограниченность последовательности из предыдущего упражнения.
Докажите ограниченность последовательностей, общие члены которых заданы формулами:
;
;
.Даны следующие последовательности:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
Докажите, что: 0 есть предел последовательностей (1), (2), (8); 1 не является пределом последовательности (1); найдите пределы последовательностей (3), (4), (9); имеют ли пределы последовательности (5), (6), (7)?
Вычислите пределы:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;!0)
.Используя аксиому Больцано-Вейерштрасса, найдите пределы последовательностей:
1)
;2)
;3)
;
4)
.Докажите, что
.Вычислите пределы:
1)
;2)
;3)
.Докажите части (3) и (4) ►Теорема 4..
Вычислите предел:
1)
;2)
;3)
;Докажите теоремы о пределе частного и о пределе корня, используя бесконечно малые последовательности.
Последовательности и не имеют предела. Могут ли иметь пределы последовательности и
?
Приведите примеры.Последовательность имеет предел, а последовательность его не имеет. Могут ли иметь пределы последовательности и ?
Пусть , а – произвольна. Можно ли утверждать, что
?Известно, что . Можно ли отсюда вывести что: либо
,
либо
?Пусть последовательности и сходятся к одному и тому же пределу, как ведет себя последовательность
?Последовательности и задаются соотношениями ;
;
;
.
Докажите, что они имеют общий предел,
и найдите его.Последовательности и определяются соотношениями ; ; ;
.
Докажите, что они имеют общий предел.
1 Понятие функции подробно рассмотрено в Главе 3