§6.Бесконечно малые последовательности и их свойства
12.Определение и примеры бесконечно малых последовательностей
Последовательности называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер элемента последовательности, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству
или
.
Используя
кванторы, запишем это определение так:
.
Последовательности
,
,
,
(где
)
– являются бесконечно малыми.
13.Свойства бесконечно малых последовательностей
Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.
пусть и
,
это означает, что
и
.
Выберем
таким образом, что
,
тогда
,
значит,
,
то есть
– бесконечно малая последовательность.
Обобщение теоремы: сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство проведите самостоятельно, используя метод математической индукции.
Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой является бесконечно малой последовательностью.
пусть – ограниченная последовательность, тогда
;
а
- бесконечно малая, тогда
.
Рассмотрим
,
начиная с некоторого номера, итак,
,
то есть
– бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.
Последовательности
;
;
;
– бесконечно малые.
Действительно,
,
где
;
;
,
но
– ограниченная последовательность
,
а
и
бесконечно малые, значит,
– бесконечно малая. Аналогично докажите,
что
,
и
– бесконечно малые.
14.Применение бесконечно малых последовательностей к доказательству теорем о пределах
Для того, чтобы последовательность
имела своим пределом число
,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение:
,
где
– бесконечно малая последовательность.
пусть
,
значит,
(*),
обозначим,
,
тогда из (*) следует, что
,
начиная с некоторого номера, значит,
– бесконечно малая; таким образом,
,
где
– бесконечно малая и необходимость
доказана. Достаточность этого утверждения
доказывается аналогично с использованием
(*) и определения бесконечно малой.
Последовательность
представима в виде
,
значит,
,
так как
бесконечно малая.
Рассмотрим доказательство ►Теорема 4.(1) и ►Теорема 4.(2) с помощью бесконечно малых.
Пусть
и
,
тогда по ►Теорема 10.
и
,
где
и
- бесконечно малые. Рассмотрим
,
но
- бесконечно малая (по ►Теорема 8.),
значит, по ►Теорема 10.
;
аналогично
,
но
и
- бесконечно малые (►Теорема 9.), а также
- бесконечно малая (следствие из ►Теорема 9.),
поэтому
- бесконечно малая, таким образом,
,
где
- бесконечно малая и
(►Теорема 10.).
§7.Бесконечно большие последовательности
12.Определение и примеры
Рассмотрим
последовательность
;
о ее поведении часто говорят «неограниченно
возрастает», но точнее ее поведение
следует охарактеризовать словами
«бесконечно большая», ведь какое бы
сколь угодно большое число
мы не взяли, не только найдется член
последовательности, превысивший это
число, но и все последующие за ним
превысят это число: пусть
,
тогда начиная с
для всех членов последовательности
,
то есть
для всех
;
а если
,
то
- номер того члена, начиная с которого,
все
больше
.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа найдется такой номер зависящий от , что для всех членов последовательности, начиная с этого номера, выполняется неравенство
.
Используя
кванторы, запишем это определение так:
.
Последовательности
,
,
,
являются бесконечно большими.
Действительно,
;
.
Для последовательности
можно сделать предварительные оценки:
для всех натуральных
,
а
для всех натуральных
.
Поэтому
и
.