§5.4. Кратные интегралы

Пусть функция определена в ограниченной области G плоскости Oxy. По определению

если этот предел существует и конечен, где – элементы разбиения области G (и их площади), (рис. 33), d_k – диаметр (наибольшее расстояние между двумя любыми точками ).

Рис. 33.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Если , то равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область G; снизу– плоскостью Oxy (рис. 34).

Рис. 34.

Область G называется правильной в направлении оси Oy, если она имеет вид, указанный на рис. 35, и правильной в направлении оси Ox, если она имеет вид, указанный на рис. 36.

          Рис. 35. Рис. 36.

Для области, правильной в направлении оси Oy, двойной интеграл сводится к повторному с помощью формулы

а для области, правильной в направлении оси Ox, с помощью формулы

.

Пример 5.6. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями , , (рис.37).

Рис. 37.

Решение. Форма области G позволяет применить формулу перехода к повторному интегралу при , , , :

.

Замена переменных в двойном интеграле

При замене переменных , в двойном интеграле справедлива формула

,

где

– якобиан преобразования.

Наиболее часто используемой заменой переменных в двойном интеграле является переход к полярным координатам:

, .

При этом якобиан преобразования равен

.

Справедлива формула

.

Пример 5.7. Вычислить двойной интеграл

,

где область интегрирования ограничена линиями , , , (рис. 38).

Рис. 38.

Решение. Перейдём к полярным координатам:

, , .

.

§5.5. Криволинейные интегралы

Пусть точки ... , задают разбиение кривой L (рис. 39).

Рис. 39.

По определению, криволинейным интегралом от вектор-функции

по отрезку кривой L, называется

,

где , .

Если кривая L задана параметрически: то

.

Эта формула сводит криволинейный интеграл к определенному.

Если кривая L задана уравнением то

Пример 5.8. Вычислить криволинейный интеграл

,

вдоль параболы , .

Решение.

.

Пример 5.9. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L – верхняя половина окружности , , пробегаемая против часовой стрелки (рис. 40).

Рис. 40.

Решение.

.

§5.6. Задания к контрольной работе № 5

Задание 5.1. Дана функция . Показать, что .

5.1.0.
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.1.5.
5.1.6.
5.1.7.
5.1.8.
5.1.9.

Задание 5.2. Исследовать функцию на экстремум:

5.2.0.	.
5.2.1.	.
5.2.2.	.
5.2.3.	.
5.2.4.	.
5.2.5.	.
5.2.6.	.
5.2.7.	.
5.2.8.	.
5.2.9.	.

Задание 5.3.

1. Найти производную функции или

по направлению вектора в точке М.

2. Найти grad u. в точке M.

5.3.0.	,	,	.
5.3.1.	,	,	.
5.3.2.	,	,	.
5.3.3.	,	,	.
5.3.4.	,	,	.
5.3.5.	,	,	.
5.3.6.	,	,	.
5.3.7.	,	,	.
5.3.8.	,	,	.
5.3.9.	,	,	.

Задание 5.4. Вычислить двойные интегралы.

5.4.0.	,	.
5.4.1.	,	Область G ограничена прямыми
5.4.2.	,	.
5.4.3.	,	– треугольник с вершинами .
5.4.4.	,	.
5.4.5.	,	.
5.4.6.	,	.
5.4.7.	,	Область G ограничена кривыми .
5.4.8.	,	Область G ограничена кривыми
5.4.9.	,	Область G ограничена кривыми

Задание 5.5. Вычислить криволинейный интеграл по кривой L. Сделать чертеж.

5.5.0.	,	L – дуга окружности
5.5.1.	,	L – отрезок прямой , .
5.5.2.	,	L – отрезок прямой АВ от точки до точки .
5.5.3.	,	L – дуга параболы от точки до точки .
5.5.4.	,	L – дуга кривой от точки до точки
5.5.5.	,	L – дуга параболы от точки до точки
5.5.6.	,	L – дуга параболы от точки до точки
5.5.7.	,	L – полуокружность от точки до точки
5.5.8.	,	L – дуга параболы от точки до точки .
5.5.9.	,	L – граница прямоугольника, образованного прямыми