Задание 4.5. Вычислить длины дуг кривых.

4.5.0.		от до
4.5.1.		от до
4.5.2.		от до
4.5.3.		от до
4.5.4.		от до
4.5.5.		от до
4.5.6.		от до
4.5.7.		от до
4.5.8.		от до
4.5.9.		от до

Раздел 5. Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы (Контрольная работа №5)

§5.1. Частные производные

Частной производной функции по переменной х называется предел (вычисляемый при фиксированном y)

,

если он существует и конечен.

Аналогично .

Таким же образом определяются частные производные функций большего числа переменных.

При вычислении частных производных используют обычные правила и приемы дифференцирования.

Пример 5.1. Найти частные производные функции

.

Решение. Функция определена в области .

Считая y постоянным, находим

.

Считая х постоянным, находим

.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначение:

; ;

; .

Если смешанные частные производные непрерывны, то они совпадают.

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Пример 5.2. Найти все частные производные второго порядка от функции

.

Решение. , ,

, , .

Пример 5.3. Дана функция . Доказать, что она удовлетворяет уравнению .

Решение. , ,

.

Поэтому

.

§5.2. Экстремумы функции нескольких переменных

Точка называется точкой максимума (или точкой минимума) функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Необходимые условия экстремума

Если – точка экстремума функции , то

.

Точки, в которых первые частные производные равны нулю, называются стационарными точками.

Достаточные условия экстремума

Пусть – стационарная точка. Введем обозначения:

и положим

Если , то функция имеет в точке экстремум: максимум, если (или ) и минимум, если (или ).

Если , то точка точкой экстремума не является.

Если – критический случай, необходимо дальнейшее исследование.

Пример 5.4. Исследовать на экстремум функцию двух переменных

.

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

, .

Решив систему уравнений

получим стационарные точки и .

Найдём частные производные второго порядка:

, , .

Составим для каждой стационарной точки.

Для точки

, , , .

Следовательно, экстремума в точке нет.

Для точки

, , , , .

Следовательно, в точке функция имеет минимум, равный .

§5.3. Производная по направлению. Градиент

Производной функции в точке по направлению вектора называется предел

,

если он существует и конечен. (Точка М₁ стремится к точке М вдоль вектора ) (рис. 32).

Рис. 32.

Если – угол между вектором и осью Ox, то

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных . Если – углы, образованные вектором с осями Ох, Oy, Oz, то в этом случае

.

Градиентом функции в точке называется вектор

.

В трехмерном случае

.

Пример 5.5. В точке найти производную функции в направлении, составляющем с осью Ох угол в , а также .

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :

, .

Здесь , .

Поэтому .

Найдем градиент функции u:

.