Краткая теория.
Рассмотрим колебательную систему, состоящую из шарика массой m, без трения скользящего по горизонтальному стержню под действием невесомой пружины с коэффициентом упругости k (рис.1). Такая система является одной из систем с сосредоточенными параметрами: вся масса системы сосредоточена в центре шарика, вся упругость — в пружине (шарик абсолютно тверд, витки пружины невесомы). Выведем шарик из положения равновесия и предоставим систему самой себе. Ее собственные колебания будут незатухающими, так нет сил сопротивления.
Основное уравнение динамики поступательного движения
(1)
Сила, действующая на шарик, может быть определена по закону Гука:
(2)
где l — величина деформации, обозначим ее через x; k — коэффициент упругости пружины.
Кроме того, известно, что ускорение по определению является второй производной координаты по времени, то есть
а =
(3)
Подставляя формулы (2), (3) в (1), получим:
m
или
(4)
Выражение (4) является дифференциальным уравнением описывающие незатухающие колебания пружинного маятника.
Решения данного дифференциального уравнения такого типа, как уже отмечалось в введении, может служить выражение следующего вида:
x=
Аcos
(
) (5)
где аргумент
косинуса 2
=
циклическая частота свободных колебаний
пружинного маятника. Зная связь
циклической частоты и периода свободных
колебаний (
=
)
возможно получить формулу для периода
колебаний пружинного маятника:
Т = 2
(6)
Данная формула позволяет определять коэффициенты жесткости упругих тел при их свободных колебаниях. Коме того, коэффициент жесткости пружины может быть определен, так называемым статическим методом. Статический метод основан на равенстве веса тела, прикрепленного к данной пружине и силы упругости, возникающей в самой пружине, то есть
Из чего следует, что коэффициент упругости пружины равен:
(7)
Ход работы. Задание 1. Определение жесткости пружины статическим методом.
1. На ось шкива наденьте треугольник из пресс – картона, используя центральное отверстие (закрепите его втулкой).
2. На стойке, напротив пружин, втулкой закрепите линейку, с помощью которой будет определяться удлинение пружины.
3. На крючок подвесьте пружину, а на пружину – подвес для грузов.
4. Зафиксируйте по линейке положение нижней точки подвеса. Это будет начало отсчета удлинения пружины. (Все последующие измерения необходимо производить только от этой точки!)
5. Добавляя на подвес грузы массы mi , зафиксируйте по линейке положение нижней точки подвеса. Эта величина будет являться удлинением пружины хi.
6. Значение массы mi и удлинение пружины хi занесите в таблицу №1.
7. Опыт проводите с грузами различной массы m, поочередно добавляя их на подвес.
8. Результаты опытов фиксируйте в таблице №1.
9. Проделайте опыт в обратном порядке (с подвеса необходимо снимать по одному грузу, фиксируя при этом растяжение пружины хi.). Отсчет удлинения ведется от первоначального положения нижней точки подвеса (пункт 4). Результаты фиксируйте в таблице №1.
Таблица 1.
-
№ опыта
m, кг
xi, м
xj, м
xср, м
k, H/м
kср,
Δk,
10. Определите для
каждого опыта хср=
11. Определите для
каждого опыта k
=
(g=9,81
м/с2).
12. Определите kср,
относительную и абсолютную погрешность.
Ответ запишите k
=k
Δk
(
),
= … %