Основные теоретические положения о незатухающих колебаниях.

Колебательное движение (колебания) называется физическое явление, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз, вновь возвращаясь к нему. При этом положение равновесия принято считать такое положение, в котором система может покоиться сколь долго, будучи предоставлена самой себе.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, например, вибрация натянутой струны, движение поршня в дизеле, морские приливы и отливы, переменный ток, дыхание, движение электронов в атоме и многое другое, по физической природе, по степени сложности, все они совершаются по одним общим закономерностям. Поэтому методы описания различных колебательных процессов одинаковы и заключаются в составление дифференциальных уравнений и поиск их решений.

Можно выделить четыре вида колебаний  это свободные (собственные), затухающие, вынужденные и гармонические. Свободные или собственные колебания, будут таковыми, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Затухающие колебание называются таковыми, если амплитуда, из-за потери энергии реальной колебательной энергии уменьшаются с течением времени. Вынужденные колебания  колебания, совершаемые под действием периодически меняющейся силы. Гармонические колебания  колебания, при которых колеблющаяся величина, изменяется по закону косинуса (синуса).

Однако, любой вид колебаний, как отмечалось, характеризуется рядом одинаковых физических величин таких как:

• Период  физическая величина, характеризующая время одного полного колебания. Единицей измерения периода является «секунда»  Т = с и может быть вычислен по формуле:

(1)

где t  время, за которое совершено N полных колебаний.

• Частота  физическая величина, характеризующая число полных колебаний за единицу времени. Единицей измерения частоты колебаний является «Герц»  Гц=с^-1 и данная физическая величина может быть вычислена по формуле:

(2)

Сопоставляя эти формулы (1) и (2) получим взаимосвязь между периодом и частотой колебаний:

(3)

Амплитуда колебаний  максимальное отклонение колебательной системы от положения равновесия. Единицей измерения является «метр»  А=м.

Рассмотрим более подробно незатухающие собственные гармонические колебания. Колебания такого вида любой системы могут быть описаны дифференциальным уравнением вида:

(4)

где s  колеблющаяся физическая величина, описывающая данное колебание. Для решения данного уравнения составим характеристическое уравнение, подставив выражение вида x = e^λt. В результате получим:

λ² + ω₀ = 0. (5)

Это уравнение имеет корни

λ₁ = +iω₀, λ₂ = -iω₀..

Согласно методике решения дифференциальных уравнений, общее решение имеет вид

s = , (6)

где С₁, С₂ - комплексные постоянные.

Описывающая колебания функция s(t) должна быть вещественной. Для этого коэффициенты С₁, С₂ в (5) нужно выбрать так, чтобы выполнялось условия (7)

(мы приравняли выражение (5) его комплексно сопряженному). Соотношение (6) будет выполняться, если ( в этом случае ). Представим удовлетворяющие такому условию коэффициенты С₁ и С₂ в показательной форме обозначив их модуль через а/2, а аргумент буквой φ₀:

Подстановка этих выражений в (5) дает

Таким образом, общее решение уравнения (5) имеет вид

где а и ₀ – произвольные постоянные.

Откуда следует, что

 дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины s, которая изменяется по гармоническому закону s = аcos(₀t + ₀), где а  амплитуда колебаний, ₀  круговая частота, ₀  начальная фаза колебаний. Аргумент косинуса выражения (5) называется фазой колебания   = t + ₀. Фаза  это время, прошедшее с начала колебаний, измеренное в угловых единицах. За начало колебаний принимается определенное прохождение системой положения равновесия, именно то для которого  = 0 (если закон колебаний синусоидален). От этого прохождения фаза все время увеличивается, так что любые положения системы, разделенные промежутком времени в период колебаний, имеют разность фаз 2.

Начальная фаза колебаний приобретает смысл угловой меры времени, за которое система, двигаясь из начала колебаний, получила бы начальные условия. Период и циклическая частота связаны между собой соотношением

(6)

График зависимости любой физической величины от времени при колебательном движении представлен на рисунке 1.