Краткая теория.

Упругие свойства твердых тел могут быть причиной возникновения механических колебаний, которые, в свою очередь, используются для определения параметров колебательной системы, а именно моментов инерции, модулей кручения, модулей сдвига, модулей Юнга для твердых тел. В связи с этим, очевидно, необходимо рассмотреть явления связанные со свойством твердых тел деформироваться, то есть менять свою форму и размер под действием приложенных сил. Можно выделить два вида механических деформаций твердых тел: упругие и пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия внешних сил. Пластическими или остаточными называют деформации такие, которые сохраняются, возможно, частично, и после прекращения действие сил. На пластических деформациях основана холодная обработка металлов – ковка, штамповка и т.п. Является ли деформация пластической или упругой зависит и от материала, и от приложенных сил, точнее от сил отнесенных к единице площади. Физическая величина, характеризующая действие приложенной к единичной площади твердого тела деформируемой силы, называется механическим напряжением, то есть:

, (1)

Если сила не превосходит известной величины механического напряжения, называемым пределом упругости, то возникающая деформация будет упругой. Если она превосходит этот предел, то деформация будет пластической. В данной работе рассмотрим более подробно упругие деформации.

Однако явления деформации можно классифицировать и по другим существенным признакам. Например, по смещению атомных слоев относительно друг друга. В связи с этим выделяют однородные и неоднородные виды деформации. Однородные деформации такие, при которых все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. При таких деформациях отдельные элементы деформированного тела остаются параллельными друг другу, и расстояние между каждой парой соседних пластин изменяется на одну и ту же величину. Растяжение испытывают тросы подъемных кранов, канатных дорог, буксирные тросы и др. Сжатию подвергаются колонны, стены и фундаменты зданий. Для того чтобы численно оценить деформацию растяжения (сжатия), водиться ряд физических величин. Физическая величина, характеризующая на сколько тело растянулось (сжалось) в результате деформации называется абсолютным удлинением, то есть

l = l  l₀, (2)

где l  длина тела после деформации, l₀ первоначальная его длина. Физическая величина, характеризующая степень деформации, испытываемой телом, называется относительным удлинением и может быть вычислена по формуле

(3)

Английским физиком Р. Гук экспериментально доказано, что для малых деформаций относительное удлинение  и напряжение  прямо пропорциональны друг другу:

 = Е , (4)

где Е коэффициент пропорциональности называемый модулем Юнга. Подставим в формулу (3) формулы (2) и (4), и выразим F, получим

, (5)

где k = носит название коэффициента жесткости (упругости). Данная формула является математическим выражением закона Гука, в котором знак «», говорит о том, что сила упругости, возникающая при деформации, направлена в противоположную сторону самой деформации

Неоднородными деформациями называются такие, при которых бесконечно малые объемы твердого тела деформированы по-разному. Рассмотрим более подробно в данной работе неоднородную деформацию  изгиб, являющейся причиной возникновения механических колебаний металлического стержня. Для этого необходимо жестко закрепить один конец металлического стержня, а к другому подвесить груз, такая система может совершать колебательные движения. В этом случае мы можем наблюдать деформацию, при которой разные слой тела растягиваются или сжимаются по-разному, относительно слоя неподвергающегося деформации. Этот слой называется нейтральным, а деформация такого рода – деформацией изгиба. Рассмотрим изгиб однородного с тержня произвольного сечения, которое может оставаться одинаковым на протяжении всей длины, более подробно. Пусть до деформации стержень имел цилиндрическую форму. Проведя сечения АВ и , нормальные к оси стержня вырежем из него бесконечно малый элемент (рис.1), длину которого обозначим через l₀. Ввиду бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямые и все прямые, им параллельные, перейдут в дуги окружности с центрами, лежащими на оси О, перпендикулярной плоскости рисунка (рис. 1). Эта ось называется осью изгиба. Наружные слои стержня, лежащие выше линии , при изгибе удлиняются, а сои, лежащие ниже линии , укорачиваются. Длина линии остается неизменной, поэтому называется нейтральной. Таким образом, все наружные слои растянуты, внутренние сжаты. Следовательно, деформацию изгиба можно назвать неоднородным растяжением (сжатием). Очевидно, физические величины, характеризующие деформации растяжения и сжатия будут иметь другие математические выражения. Так, например, коэффициент жесткости стержня, имеющего цилиндрическую форму, имеет вид

(6)

В свою очередь, коэффициент жесткости может быть определен как статическим, так и динамическим методами. Статический метод основан на равенстве веса тела, прикрепленного к данному стержню и силы упругости, возникающей в самом стержне, то есть

или

(7)

В качестве динамического метода могут быть использованы механические колебания, вызванные деформацией стержня. Эту методику возможно было наблюдать в лабораторной работе № 3. При наблюдении механических колебаний, вызванных деформацией изгиба, стержня можно определить характеристики стержня, а именно коэффициент жесткости и модуль Юнга для материала, из которого сделан данный стержень. Для этого составим дифференциальное уравнение механических колебаний металлического стержня, вызванных деформацией изгиба. Предположим, что данные колебания являются незатухающими, так как силы сопротивления очень малы. Запишем основное уравнение динамики поступательного движения

(8)

Сила, действующая на стержень, может быть определена по закону Гука:

(9)

где l — величина прогиба данного стержня, k — коэффициент упругости стержня. Кроме того, известно, что ускорение по определению является второй производной координаты по времени, то есть

а = (10)

Подставляя формулы (9), (10) в (8), получим:

m

или

(11)

Выражение (4) является дифференциальным уравнением описывающие колебания металлического стержня.

Решения данного дифференциального уравнения такого типа, как уже отмечалось во введении, может служить выражение следующего вида:

x= Аcos ( ) (12)

где аргумент косинуса ² =  циклическая частота свободных колебаний пружинного маятника. Зная связь циклической частоты и периода свободных колебаний (= ) возможно получить формулу для периода колебаний пружинного маятника:

Т = 2

Данная формула позволяет определять коэффициенты жесткости упругих тел при их свободных колебаниях. Кроме того, зная взаимосвязь коэффициента жесткости и модуля Юнга для металлического стержня (6) механические колебания могут быть использованы для определения модуля Юнга для данного металла.