Вопрос9. Непустое множество m с бинарной операцией называется группоидом. Иногда нам удобнее использовать обозначение

Группоид   с бинарной операцией   называется полугруппой, если операция   ассоциативна; моноидом, если операция ассоциативна (т. е. это полугруппа) и в   существует нейтральный элемент e .

Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией .

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “ ” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом“ ” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Вопрос10

Определение 1. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию .

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c  A выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

3) для любого элемента а существует элемент а^-1 из этого же множества такой, что

Замечание. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

вопрос11.Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с  R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип - .

Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент a + b, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами:

I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a;

II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c;

III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент  такой, что a + c = b;

IV. (Коммутативность умножения) ab = ba;

Термин "кольцо" применяется также ко множествам с некоммутативным или даже не ассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются.

V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c;

VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения) (a + b)c = ac + bc.

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

3. Множество действительных чисел.

4. Множество рациональных чисел.

5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

6. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.

7. Множество комплексных чисел a + bi с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

8. Множество действительных чисел  , где a и b - целые числа.