12. Что такое орграф, граф, вершина, дуга, ребро, путь, цепь, контур и цикл?

• Пусть дано множество Х и многозначное отображение f:X→X, тогда говорят, что задан ориентированный граф (орграф). Ориентированный граф (или орграф) - это граф, вершины которого соединены направленными ребрами.

• Граф - это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.

• Вершина – это точка, из которой выходят, или сходятся рёбра графа.

• Пара (х;у), где у € f(x) называется дугой. Дуга – ребро с заданным направлением.

• Ребро – это линия, соединяющая пару смежных вершин графа.

• Путь - это последовательность дуг в орграфе, такая, что конец каждой дуги является началом следующей.

• Цепь - это маршрут, все рёбра которого различны, а вершины могут повторяться.

• Контур – это замкнутый путь в орграфе.

• Цикл – это замкнутая цепь.

13. Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути в невзвешенном графе? + задача

• Шаг 1: Вершине А припишем индекс 0.

• Шаг 2: Всем вершинам, смежным с А припишем индекс 1.

• Шаг 3: Всем вершинам, смежным с вершинами индекса 1 и не имеющим индекса, припишем индекс 2 и т.д.

• Процесс останавливаем, когда вершина В получит некоторый индекс n. Длина n – это и есть длина кратчайшего пути. Построим путь с такой длиной возвращаясь из вершины В в вершину А.

• Шаг 4: Среди вершин, смежных с В, обязательно найдется вершина С с индексом n-1. Возвращаемся в С и повторяем этот процесс. Ровно через n шагов мы придем в вершину индекса 0, т.е. в вершину А.

14. Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути во взвешенном графе? + задача

• Шаг 1: Вершине А приписываем индекс 0, а всем остальным вершинам индекс +∞.

• Шаг 2: Последовательно перебираем все пары х и у.

• Каждый раз проверяем неравенство:

μy >μx +λxy.

• Если оно выполняется, то уменьшаем индекс μ_y заменив его на μx +λxy.

• Если не выполняется - ничего не делаем.

• Шаг 3: Процесс останавливаем, когда ни один индекс уже нельзя уменьшить. В этот момент вершина В имеет индекс μx - это и есть наименьшая сумма весов.

• Построим этот путь возвращаясь из вершины В в вершину А.

• Шаг 4: Среди вершин смежных с В обязательно найдется вершина С, для которой выполняется точное равенство:

• μВ =μС +λСВ

• Возвращаемся в С и повторяем этот процесс. Т.к. при этом индексы всё время уменьшаются, то через несколько шагов мы придем в вершину индекса 0, т.е. в вершину А. Один или несколько путей построены.

15. Что такое Эйлерова цепь (цикл), у каких графов она существует? + задача

• Эйлерова цепь – цепь в неориентированном графе, проходящая через все ребра ровно по одному разу.

• Эйлеров цикл – замкнутая эйлерова цепь.

• Связный граф обладает незамкнутой эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда ровно две его вершины имеют нечетную степень.

• Связный граф обладает эйлеровым циклом тогда и только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.