§9. Комплексные числа
Комплексным числом
называется выражение
(9.1),
где
и
- действительные числа;
- мнимая единица, определяемая равенством
или
(9.2).
Число
называют действительной частью
комплексного числа
и обозначают
;
- мнимая часть комплексного числа
.
Ее обозначают
.
Если
,
то число
называют чисто мнимым, если
,
то число
,
есть действительное число.
Два комплексных числа
и
называют комплексно сопряженными
числами.
Два комплексных числа
и
считаются равными, если
и
.
Комплексное число
,
если
и
.
Плоскость, точки которой изображают
комплексные числа, называется комплексной
плоскостью.
Иногда комплексное число
удобнее изображать в виде вектора
,
начало которого совпадает с началом
координат, соединяющего точку
с точкой
.
Длина этого вектора называется модулем
комплексного числа
и обозначается
.
.
Угол
между осью
и вектором
,
отсчитанный против часовой стрелки,
называется аргументом комплексного
числа
и обозначается
.
Аргумент числа
определяется с точностью до слагаемого
,
где
- целое число. Главное значение аргумента
числа
- значение аргумента, удовлетворяющее
неравенству
.
Главное значение аргумента комплексного
числа
обозначается через
:
.
Запись числа
в виде
называют алгебраической формой записи
комплексного числа.
Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.
Суммой комплексных чисел
и
называется комплексное число
(9.3).
Разностью комплексных чисел и называется комплексное число
(9.4).
Произведение комплексного числа
на действительное число
называется комплексное число
.
Произведение двух комплексных чисел
и
,
записанных в алгебраической форме
определяется как произведение двучленов:
(9.5).
Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число
(9.6).
Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:
(9.7).
Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Рис. 8.
Рис. 8.
Из Рис.8 следует, что:
.
Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим
(9.8).
Выражение (9.8) называют тригонометрической
формой записи комплексного числа
,
где
.
Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:
.
Тогда
.
(9.9).
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:
(9.10).
Корнем
-й
степени из комплексного числа
называется такое комплексное число
,
-я
степень которого равна
,
т.е.
.
Корень
-й
степени из
обозначается
.
Если
,
то
равен:
(9.11).
Подставляя
в (9.11) значения
получим ровно
различных корней
-й
степени из
.
Пример 12. Дано комплексное число
.
Записать
число
в алгебраической и тригонометрической
формах. Найти все корни уравнения
.
Решение. Запишем число в алгебраической форме:
.
Найдем
:
.
Вычислим
.
Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
имеет вид:
.
Вычислим
:
при
при
при
Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой
.
Пусть
и
,
тогда:
.