Критерий устойчивости Попова

Пусть для представленной структуры:

ЛЧ: (1)

(2)

Д олжна быть устойчивой, либо содержать характеристическое уравнение , у которого не боле двух нулевых корней.

При должно выполняться следующее условие:

НЭ может иметь произвольную форму, но всегда должен располагаться в следующем секторе.

Условие устойчивости по Попову:

(1’)

– функция Попова

– АФХ линейной части

– размах сектора

– действительное число

Проведем геометрическую интерпретацию критерия Попова:

Введем понятие Модифицированной АФХ

(3)

Модифицированная АФХ линейной части совпадает с АФХ линейной части в точках и , если на всей действительной оси.

Из уравнений (1') и (3) выпишем следующие неравенства:

Е сли выпишем уравнение , то получим прямую линию, смещенную на действительной оси на и имеющую наклон .

П оложение равновесия будет абсолютно устойчивыми, если модифицированная АФХ линейной части системы лежит целиком справа от прямой, проходящей через точку с координатами .

– передаточная функция скорректированной ЛЧ

и должно выбираться так, чтобы скорректированная ЛЧ стала устойчивой.

Тогда используется определение модифицированной АФХ. Запишем следующее неравенство:

(5)

Тогда на плоскости условие (4) будет представлять собой параболу

Положение равновесия нелинейной системы с неустойчивой ЛЧ будет абсолютно устойчивым, если модифицированная АФХ линейной части расположена вне параболы с вертикальной осью и проходящей через точку .

Если линейная часть системы устойчива, то небольшое увеличение коэффициента усиления не нарушит эту устойчивость.

Область устойчивости, определенная по критерию Попова, более широкая и является огибающей для всех областей устойчивости, определенных по функции Ляпунова.

Если выполняется критерий Попова, то всегда можно подобрать функцию Ляпунова.

Для случая неоднозначной нелинейности, когда

ЛЧ должна быть устойчивой или астатической с первым порядком астатизма (один нулевой полюс), тогда:

Положение равновесия будет абсолютно устойчив, если модифицированная АФХ целиком лежит справа от прямой, проходящей через точку .

Если АФХ линейной части такова, что она пересекает действительную ось так, что прямая, проведенная через точку является касательной к АФХ, то точку можно найти из условия нахождения системы на границе устойчивости.

Пример 1:

Исследовать систему на абсолютную устойчивость и равновесие.

; ;

Пример 2:

; ; ;

Определить абсолютную устойчивость положения равновесия в нелинейной системе и при нахождении линейности в секторе, ограниченном прямыми с наклоном и .

;

При любом k система будет находиться в абсолютно устойчивом положении равновесия

Алгебраические способы и методы определения периодического режима и его устойчивости

Передаточная функция ЛЧ:

(1)

НЭ:

(2)

Составим уравнение замкнутой гармонической линеаризованной нелинейной системы:

Здесь коэффициенты зависят от амплитуды и от частоты .

Характеристическое уравнение гармонической замкнутой нелинейной системы:

1. Если в гармонически-линеаризованной системе, описываемой уравнением (3) возникает периодический режим (с параметрами ), то коэффициент уравнения (3) становится постоянным.

2. Из линейной теории известно, что в уравнении с постоянными коэффициентами, если есть периодический режим, то среди корней характеристического уравнения есть пара чисто мнимых. Значит присутствие периодического режима в замкнутой гармонически нелинеаризованной системе можно подстановкой в уравнение (3) определить наличие или отсутствие периодического режима.

Если эта подстановка дает положительные значения амплитуды и частоты, то периодический режим с данными значениями возможен .

С другой стороны, известно, что подстановка характеристического уравнения соответствует определению границы устойчивости системы.

Значит, для нахождения периодического режима замкнутой гармонической нелинеаризованной системой можно пользоваться всеми критериями устойчиваости из линейной теории, которая позволяет обнаружит и определить границы устойчивости линейных систем.

(4)

Представим уравнение (4) в следующем виде:

(5)

(5’)

– амплитуда уменьшается

– амплитуда увеличивается

– существует периодический режим с параметрами

При положение равновесия устойчиво.

Если существует устойчивый периодический режим

2. При положение равновесия устойчиво и при нелинейная САУ неустойчива.

3. При любых k в системе возникает периодический режим.

4. Если положение равновесия устойчиво, при возникает два предельных цикла: верхний – устойчив, нижний – неустойчив.

Из системы (5)

Пример:

Исследовать возможность происхождения периодического режима в заданной нелинейной системе, построить график

1. ГЛНС:

2. Передаточная функция гармонической линеаризованной системы (ФГЛНС):

3. Характеристические уравнения ЗГЛНС:

Р аспишем данное уравнение:

При периодического режима нет.

При возникает два периодического режима

н айдем из следующего условия:

При

При в ЗГЛНС устойчивое положение равновесия и периодический режим отсутствует.

При в системе возникает два периодических режима с амплитудами и .