Условия существования периодического режима замкнутой гармонической линеаризованной нелинейной системы (зглнс).

(1)

(2)

(3)

Если мы работает по условию (2), то в левой части АФХ линейного элемента, в правой части инверсная АФХ нелинейного элемента.

Если есть точки пересечения, то существует периодический режим.

- результат АФХ линейной части в точке . - амплитуда из АФХ нелинейного элемента.

Периодический режим устойчив, если с ростом амплитуды инверсное АФХ пересекает АФХ линейной части изнутри наружу.

Периодический режим устойчив, если прямая нелинейного элемента пересекает АФХ линейной части снаружи внутрь для условия (3).

В ЗГЛНС возникают автоколебания, то есть устойчивый гармонический режим.

В случае неоднозначной линейности:

Существуют два периодических режима:

• периодический режим с индексом 1 неустойчив;

• периодический режим с индексом 2 устойчив.

Частотно-амплитудный метод приближен в силу того, что мы рассчитываем только одну гармонику, но если линейная часть системы является хорошим фильтром, то для практических расчетов он всегда применим.

Можно определить хороший фильтр, если проверить амплитуду на частоте, где АФХ линейной части при и на частоте в три раза большей, если они отличны друг от друга в десять раз.

Пример:

Определить существование периодического режима в системе, его устойчивость и параметры. Найти ,

1. Проверяем гармоническую линеаризацию

2. Условия существования периодического режима

В ЗГЛНС есть два периодических режима, т.к. прямая два раза проходит через АФХ.

Устойчивый периодический режим

В системе возникает периодический режим с параметрами , .

Определим

Если , то существует периодический режим.

Если , то периодического режима нет.

Если , то периодический режим отсутствует, если , периодический режим существует.

Определение параметров периодического режима по фазовому портрету.

Если в системе возникают колебания, они близки к гармоническим.

Максимальные значения амплитуды и скорости будут при значениях синуса и косинуса равных единице.

1. рассмотрим метод построения кривой переходного процесса по фазовому портрету

Из треугольника abd.

- шаг по времени.

2. метод припасовывания

Суть метода:

1. На первом участке по заданным начальным условиям определяется постоянная интегрирования.

2. Определяется время движения изображающей точки по фазовой траектории от начальных условий до линии переключения.

3. Находятся значения и в конце первого участка.

Эти значения принимаются за начальные условия для второго участка, далее весь расчет повторяется.

Уравнение ЗНСАУ.

(1)

- постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий.

Пусть на первом участке

Найдем время движения

(4)

(5)

(6)

3. метод точечных преобразований или отображений

Суть:

Зададимся начальным значением на положительной оси с абсциссой .

Допустим, через некоторый промежуток времени изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, уравнение которой известно, снова пересекает положительную полуось в точке с абсциссой , причем значение координаты может быть выражено через определенной функциональной зависимостью через уравнение фазовой траектории.

(1)

- функция последования.

По виду функции последования (1) можно судить о динамическом поведении системы, а именно:

• при процесс затухающий;

• при процесс расходящийся;

• при в системе возникает предельный цикл.

Диаграмма точечного преобразования.

Затухающим процессам соответствует участок зависимости , лежащий ниже биссектрисы, то есть левее точки А и правее точки В.

Расходящимся процессам соответствует участок , лежащий выше биссектрис между точками А и В.

Точки пересечения зависимости с биссектрисой определяют амплитуды возможных незатухающих колебаний в системе .

Устойчивость предельных циклов определяется как показано на рисунке стрелками, в точке А неустойчив, в точке В устойчив.

Следует отметить, что с помощью точечного преобразования можно исследовать динамику системы, не строя самого фазового портрета.

Кроме этого, определяются параметры системы и характер переходных процессов.

Могут быть определены критические значения параметров, переход через которые качественно меняет фазовый портрет системы.