1 . Триангуляция Делоне, принцип и порядок построения.
В современных программных продуктах для выполнения триангуляции используют алгоритм, предложенный российским ученым Б.Н. Делоне (1934г). Сущность алгоритма триангуляции заключается в следующем.
1
)
В произвольное место горизонтальной
проекции поверхности помещают окружность
малого радиуса таким образом, чтобы ни
одна съемочная точка не попала внутрь
окружности.
2) Затем увеличивают радиус окружности, не передвигая ее центра до тех пор, пока она не наткнется на некоторые съемочные точки.
3
)
Далее, сохраняя то условие, чтобы точки
лежали на границе окружности, увеличивают
ее радиус и одновременно отодвигают ее
центр. Этот процесс продолжают до тех
пор, пока окружность не коснется, как
минимум, трех точек. Дальнейшее увеличение
радиуса становится невозможным, а
найденные три точки образуют первый
треугольник.
4
)
Взяв две точки полученного треугольника,
строят новую окружность на образовавшемся
ребре и увеличивают ее радиус одновременно
с перемещением центра в сторону,
противоположную третьей вершине
треугольника, до тех пор, пока окружность
не коснется следующей точки. Таким путем
образуется еще один треугольник. Процесс
повторяют до тех пор, пока все точки
поверхности не будут охвачены треугольной
сетью.
Поверхности внутри каждого треугольника, вершинами которого являются точки с известными координатами x, y, z представляет собой плоскость. Высотная отметка z любой точки с координатами x, y в плане, находящейся внутри треугольника определяется по формуле:
z=Ax + By + C,
где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, построенной по трем точкам, образующих треугольник.
2. Автоматизированное проектирование дорог с помощью кривых Безье
Кривые Безье. В 1970 г. Пьер Безье (французский математик) подобрал составляющие параметрического кубического многочлена таким образом, что их физический смысл стал очень наглядным и весьма подходящим для решения многих прикладных задач, в том числе и для целей проектирования дорог по принципу "тангенциального трассирования".
Кривая Безье – это параметрическая кривая, которая задается выражением:
B
– радиус-вектор; t
– параметр функции, показывающий на
каком расстоянии от Р0
до Р1
находится R(t);
Pi
– функция – компонент векторов опорных
вершин;
- базисные функции кривой Безье называемые
также полиномами Берштейна.
; n
– степень полинома; i
– порядковый номер опорной вершины.
Виды кривых Безье:
1) Линейные кривые – полином первой степени. При n =1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки Р0 и Р1 определяют его начало и конец.
2) Квадратичные кривые – полином второй степени. Кривая задается тремя опорными точками Р0, Р1, Р2.
Кривые Безье, обладающие особыми свойствами позволяют применять их в качестве универсальных кривых для проектирования закруглений трасс а/д. В частности построение кривой Безье опирается на характеристическую ломаную, которая строится на основании точек Р0, Р1, Р2 … Рn, которая предопределяет ее свойства.
Помимо кривой Безье 3-го порядка (кубической) для целей трассирования дорог возможно применение также кривых Безье 2-го, 4-го и 5-го порядков.
Н
едостатком
кривой Безье 3-го порядка является то,
что при моделировании закругления в
средней части закругления невозможно
добиться участка постоянной кривизны.
Чтобы получить фрагмент дуги окружности
в средней части закругления следует
применить кривую Безье 5-го порядка,
характеристическая ломаной которой
состоит из 6 точек.
Положение точки С отмеряется τ1. Если точки А и В могут перемещаться вдоль стороны тангенциального, тем самым задавая направление касательной в начале кривой, то точка С может смещаться на расстояние Δ влево или вправо от стороны тангенциального хода, формируя при этом разнообразные очертания гладких кривых. Аналогично построение точек D и Е.
Объединением элементарных кривых Безье, у которых концевая точка кривой, совпадает с начальной точкой другой кривой, получается составная кривая Безье.
В частности, для того, чтобы касательная составной кривой Безье, определяемой набором точек P0, P1, …, Pm, изменялась непрерывно вдоль этой кривой, необходимо, чтобы тройки вершин P3i-1, P3i, P3i+1 (i ≥ 1) были коллинеарными, то есть лежали на одной прямой (см. рис. 2.7).
Рис. - Составная кубическая кривая Безье