6. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратичный многочлен
Нахождение интегралов
содержащих
квадратичный многочлен
можно начать так:
♦ если
числитель содержит переменную
то в числителе выделяем производную
квадратичного многочлена;
♦ в остальных случаях в многочлене выделяем полный квадрат.
З
а д а ч а 1. Найдите
□
=│Применим
формулу (2.12)│=
■
З
а д а ч а 2. Найдите
□
=
■
Тренировка по теме
«Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратичный многочлен»
1. Найдите интегралы.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
7. Интегрирование элементарных дробей
Выражения
,
,
(где
N,
)
называются элементарными дробями. Посмотрите, как они интегрируются.
Если
,
то
=
При
получаем
=
Вычисление интеграла
можно начать, как указано в разделе 1.6,
затем можно применить формулы раздела
7.
З
а д а ч а 1. Найдите
.
□
=
=
=
=
+С =
=
.
■
Тренировка по теме «Интегрирование элементарных дробей»
Найдите интегралы.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
8. Рациональная дробь, её интегрирование
Выражение
в котором
числа,
называется многочленом
(или полиномом)
степени n
относительно
переменной x.
Пример:
выражение
есть многочлен степени 5 (5 – наибольшая
степень у переменной
поэтому многочлен можно обозначить
.
Пусть
–
многочлен степени
–
многочлен степени
.
Отношение многочленов
называется
рациональной
дробью. Если
,
дробь называется правильной.
В остальных случаях рациональная дробь
называется неправильной.
Примеры:
– правильная рациональная
дробь;
– неправильные
рациональные
дроби.
Если интегрируется неправильная рациональная дробь, сначала её нужно записать в виде суммы:
Неправильная рациональная дробь = = многочлен + правильная рациональная дробь. |
З
а д а ч а 1. Неправильную рациональную
дробь
запишите в виде суммы многочлена и
правильной рациональной дроби.
□ Разделим числитель на знаменатель:
_
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(остаток) |
Отсюда
■
Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь, её тоже сначала нужно разложить:
Правильная рациональная дробь = сумма элементарных дробей. |
З а д а ч а 2. Какой вид имеет разложение правильной рациональной функции
на сумму элементарных дробей?
□ Внимательно посмотрите на метод разложения:
=
+
■
Буквы A, B, C, D, E, F, G обозначают числа, способ определения которых показан в задаче 3. Очевидно, вы заметили: в знаменателях правой части показатели степеней постепенно убывают.
З
а д а ч а 3. Правильную рациональную
функцию
разложите на сумму элементарных дробей.
□ 1-й
шаг - разложим знаменатель на множители:
Поэтому
2-й шаг - дробь разложим на сумму элементарных дробей:
(а)
3-й
шаг – определим значения
Сначала
обе части умножим на общий знаменатель
и раскроем скобки:
Теперь приравняем члены с одинаковыми степенями:
Сократим
первое уравнение на
второе – на
третье – на 5:
Находим
4-й шаг - подставим эти числа в (а) и получим результат
■
З
а д а ч а 4. Найдите интеграл
□
│Выполняем
все шаги, указанные в решении задачи
3│=
■
Тренировка по теме «Элементарная дробь, её интегрирование»
Найдите интегралы.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
