3. Правила интегрирования
1.
|
Постоянный множитель можно переносить за знак интеграла. |
2.
|
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов. |
Эти правила упрощают вычисление интегралов.
Докажем первое правило, найдя производную правой чаcти:
Получилась подынтегральная функция левой части, значит, правило (1) верно. Аналогично доказывается второе правило:
(1.5)
■
З
а д а ч а 1. Найдите
□
(Здесь
).
■
З
а д а ч а 2. Найдите
□
=
=
■
Как видим, для нахождения интеграла применяются правила интегрирования и таблица интегрирования. Поэтому можно сказать:
Интегрировать
функцию
–
значит применять к ней
правила
интегрирования, методы интегрирования
и таблицу интегрирования
для получения
новой функции
Тренировка по теме «Правила интегрирования»
Найдите интегралы, применяя правила интегрирования и таблицу интегрирования.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
4. Интегрирование с помощью замены переменной
Интегрирование с помощью замены переменной (говорят также: интегрирование подстановкой) ведётся следующим образом:
|
где
|
Цель
замены – чтобы новый интеграл
стал табличным или проще исходного.
Когда интеграл
найден, выполняем обратную замену,
возвращаясь к переменной
Проверим, совпадает
ли с функцией
производная правой части:
■
З
а д а ч а 1. Найдите
□
=
=│Выполним
обратную
замену│=
■
З
а д а ч а 2. Найдите
□
=
■
Тренировка по теме «Интегрирование с помощью замены переменной»
1. Найдите интегралы с помощью замены переменной.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
5. Частичное интегрирование
Частичное интегрирование (или интегрирование по частям) можно вести по формуле
|
в
которой
Проверим, в самом
ли деле производная правой части равна
:
(1.5)
■
З
а д а ч а 1. Найдите
□
■
В следующей задаче формулу (5.1) приходится применять дважды.
З
а д а ч а 2. Найдите
□
■
Перечислим типичные интегралы, которые находятся по формуле (5.1):
(при n
нечётном);
В этих выражениях
N.
Посмотрите,
как вычисляется интеграл
Итак,
отсюда
или
Аналогично можно получить
Тренировка по теме «Частичное интегрирование»
Найдите интегралы, применяя метод частичного интегрирования.
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
