Глава 1 неопределённый интеграл
1. Понятие неопределённого интеграла
Когда дана
функция
вы можете найти её производную – новую
функцию
И наоборот, если
дана функция
то можно попытаться найти, восстановить
саму функцию
З
а д а ч а 1. Дана функция
Найти функцию
□ Так
как
а также
где
любая константа, то
Проверка:
■
В этом разделе математики мы и будем заниматься такими задачами – решать уравнения вида
( y )' = u.
Неизвестная Заданная
функция. функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
В
уравнении
неизвестную
функцию
и
пишут
называют
Неопределённым интегралом от функции
Выражение
читается так: «интеграл от у дэ икс» или
«интегрирование у дэ икс». Здесь
знак
неопределённого интегрирования1
(или знак
неопределённого интеграла),
подынтегральная
функция,
подынтегральное
выражение,
переменная
интегрирования.
Заметим, что если
функция
удовлетворяет уравнению
то и функция
в которой
любая
постоянная, также будет удовлетворять
этому уравнению.
В
самом деле, если
то
Поэтому функция
(которую
мы назвали неопределённым интегралом)
всегда содержит произвольную константу
Чтобы
каждый раз явно указывать на этот факт,
вместо
будем
писать
Константу
называют постоянной
интегрирования.
Из определения неопределённого интеграла вытекает равносильность2
|
|
|
(1.1)
(1.2)
Правильность ответа, найденного по формуле (1.1), вы можете проверить, применив формулу (1.2):
производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.
З
а д а ч а 1. Проверьте правильность
равенства
□ Находим производную правой части:
Полученная
функция
совпала с подынтегральной функцией.
Значит равенство написано верно. ■
Если в формуле
(1.3) вы замените
каким-либо числом (скажем, нулём), то
правая часть формулы будет называться
первообразной
функцией
для
Пример:
имеем верное равенство
Заменим
нулём. В правой части получится
первообразная
функция для функции
Напомним, что
дифференциал функции
определяется по формуле
.
(1.3)
Из равенств (1.1) – (1.3) получаются следующие формулы:
|
Производная устраняет знак интеграла |
(1.4) |
|
Дифференциал устраняет знак интеграла |
(1.5) |
|
Интеграл устраняет знак производной |
(1.6) |
|
Интеграл устраняет знак дифференциала |
(1.7) |
получилась формула
(1.4).
– формула
(1.5).
в равенстве
заменяем
на
и получаем (1.6).
получилась формула
(1.7). ■
Тренировка по теме «Понятие неопределённого интеграла».doc
Задания
1. Применяя формулу
найдите дифференциалы.
а)
1)
2)
3)
4)
5)
б)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
2. Применяя ту же
формулу
восстановите функцию под знаком
дифференциала.
а)
1)
2)
3)
4)
5)
б)
1) 2) 3) 4) 5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
г)
1)
2)
3)
4)
5)
3. Используя переход от интегральной формулы (1.1) к дифференциальной (1.2), запишите следующие выражения в дифференциальной форме:
а)
1)
2)
3)
4)
5)
б)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
г)
1)
2)
3)
4)
5)
д)
1)
2)
3)
4)
5)
4. Докажите правильность равенств:
5. Используя переход от дифференциальной формулы (1.2) к интегральной (1.1), запишите следующие выражения в интегральной форме:
а)
1)
2)
3)
4)
5)
б)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1)
2)
3)
4)
5)
г)
1)
2)
3)
4)
5)
д)
1)
2)
3)
4)
5)
е)
1)
2)
3)
4)
5)
6. Применив одну из формул (1.4)-(1.7), допишите равенства.
а)
1)
2)
3)
4)
5)
б)
1)
2)
3)
4)
5)
в)
1) 2) 3) 4) 5)
е)
1)
2)
3)
4)
5)
