15 Средние величины

Абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельных единиц совокупности не позволяет сравнивать значение признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Сравнивать можно лишь средние показатели.

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичны уровень явления. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. Средняя величина показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности, например, средняя з/п работников предприятия.

Метод средних величин является одним из основных стат.методов. Главным условием правильного научного использования средних величин в статистике является соблюдение общих принципов расчета:

1)при определении средней величин в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания усредненного признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета исходные данные

2)средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяют получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщенных показателей

3)общие средние должны подкрепляться групповыми ср.величинами ибо динамика групповых средних более полно отражает закономерности развития явления, а динамика общей средней отражает лишь общий результат изменения.

Средние величины делятся на 2 больших класса

- степенные средние

- структурные средние

К степенным среднем относятся средняя гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая и кубическая величины.

К структурным средним относится мода и медиана.

Степенные средние величины в зависимости от формы представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя( ) рассчитывается по не сгруппированным данным представлена формулой:

где хi – значение усредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант (число единиц исследуемой совокупности, равное N).

Взвешенная средняя( ) считается по сгруппированным данным в общем виде представлена:

где хi – значение усредняемого признака или серединное значение интервала, в котором оно изменяется;

m – показатель степени средней;

fi – частота (вес), показывающая, сколько раз встречается i-е значение усредняемого при-знака.

Методика расчета степенных средних:

Вид степенной средней величины	Показатель степени (m)	Формула расчета средней величины
		простой	№ формулы	взвешенной	№ формулы
Гармоническая	- 1		4.16		4.17
Геометрическая	0		4.18		4.19
Арифметическая	1		4.20		4.21
Квадратическая	2		4.22		4.23
Кубическая	3		4.24		4.25

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних величин: с увеличением показателя степени увеличивается т и соответствующая средняя величина:

На выбор средней величины влияет содержательная характеристика исходных данных. Так, виды средних величин различаются прежде всего тем ,какое св-во ,какой параметр исходной варьирующей массы индивид. значений признака единиц совокупности должен быть сохранен неизменным при его расчете по индивидуальным и средним значением признаков единиц совокупности.

Необходимо, чтобы все этапы расчета средней величины имели реальное содержательное обоснование .

К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения , например, средних затрат труда , времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по нескольким предпр-ям, рабочим, занятым изготовлениям одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Средняя гармоническая взвешенная используется в тех случаях, когда стат.информация, т.е.исходные данные не содержат частот по отдельным значениям признака, а представлены произведениям значения признака на частоту.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда общий объем усредняемого признака является мультипликативной величиной, т.е.определяется не суммированием, а умножением индивидуальных значений признака. В соц-эк.исследованиях средняя геометрическая применяется в анализе рядов динамики при определении среднего коэф. роста, когда задана последовательность относительных величин динамики.

Кроме того, средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат усреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака ,который качественно был бы равноудален как от максимального так и от мин. значения признака.

Средняя геометрическая взвешенная в практических расчетах не применяется.

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом степенных средних. Средняя арифметическая используется в случаях когда объем усредняемого признака является величиной аддитивной , т.е. образуется как сумма его значений по всем единицам стат. совокупности. При этом, если индивидуальные значения признака у единиц совокупности заменить средней арифметической величиной, то суммарный объем признака по совокупности в целом сохраняется неизмененным. Это означает, что средняя арифметическая величина – это среднее слагаемое.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить ее расчет:

1. сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю:

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножиь или разделить на постоянне число С, то средняя величина увиличиться или уменьшиться во столько же раз: или

Вследствии с этим свойство индивидуальных значений признака можно сократить в С раз произвест расчет средний величины и результат умножить на С

3. Если каждаму индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число С, то средняя величина возрастет или уменьшиться на это же число:

4. Если веса средней взвешенной величины умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины меньше, чем от любого другого числа.

Прикладные св-ва средней арифметической можно проиллюстрировать, применив упрощенный способ расчета, называемый методом моментов или способом отсчета от условного начала. Как правило, этот метод применяется для расчета средней арифметической величины по данным интервального вариационного ряда, если варианты и веса имеют большие значения.

Средней средних арифметических является средняя хронологическая величина, рассчитываемая по формуле:

Средняя хронологическая величина используется в том случае, если усредняемое значение признака единиц стат.совокупности заданы на определенный момент времени, т.е. единицы совокупности характеризуются моментными признаками.

Средняя квадратическая величина применяется, если при замене индивид значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизмененной сумму квадратов исходных величин. Вместе с тем основной сферой применения средней квадратической является изменение степени колеблемости индивид значений признака относительно средней арифметической посредствам расчета среднего квадратического отклонения.

Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивид значений признака при их замене на среднюю величину используют среднюю кубическую.

В стат.практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных величин используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

При расчете средних значений вторичных (качественных) признаков, соответствующих относительным величинам интенсивности, используется их логическая формула, которая в зависимости от имеющихся исходных данных может принимать вид средней арифметической или средней гармонической взвешенной величины.