Приклади розв’язування задач.

ПРИКЛАД 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0.2 мм і довжину хвилі  = 1.2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення u_x,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.

Дано:

Т = 3 мс

А = 0.2 мм

 = 1.2 м

х = 2 м

t = 7 мс

------------------------------

u_x,t -? _x,t - ? _x,t - ?

Розв’язування: Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

U_x,t = A cos (t - kx), (1)

де  = 2/Т - циклічна частота коливань; k = 2/ - хвильове число.

Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль в пружному середовищі, як відповідні похідні за часом від (1):

; (2)

. (3)

а) Зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює

u_x,t = 0.2  10^-3 cos = - 0.1 (мм).

б) Швидкість цих точок

=

= 0.2  10^-3 sin = 0.36 м/с.

в) Прискорення руху точок середовища

=

= = 438.2 м/с.

Відповідь: u_x,t = 0.1 мм; = 0.36 м/с;

438.2 м/с .

Приклад 2. Рівняння плоскої хвилі, яка біжить, має вигляд

u_x,t = 6.0 10^-2 cos (1800t - 5.3x) мм. (1)

Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв’язок з амплітудою швидкості частинок.

Розв’язування: Рівняння плоскої хвилі яка біжить в загальному вигляді запишемо так:

u_x,t = A cos . (2)

а) Порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:

А = 6.0  10^-5 м; 2/Т = 1800 с^-1,

звідки

Т = 2/1800 = 3.49  10^-3 с;

2/ = 5.3 звідки  = 2/5.3 = 1.18 м

Тому = 5.08  10^-5.

б) Швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)

= - 6.0  10^-5  1800 sin (1800t - 5.3x) м/с

де _max = 6.0  10^-5  1800 = 0.11 м/с - амплітуда швидкості частинок.

Швидкість поширення хвиль в пружному середовищі

v = = 339 м/с.

Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль

= 3.19  10^-4

в) Для знаходження зв’язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):

; (3)

; (4)

Поділимо рівняння (4) на (3)

= v,

або

,

де - амплітуда швидкості; - амплітуда від-

носної деформації; v - швидкість поширення хвиль.

Відповідь: А/ = 5.08  10^-5 ; = 0.11 м/с;

= 3.19  10^-4,

ПРИКЛАД 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше ₀ = 1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.

Дано:

l = 0.85 м

v = 340 м/с

₀ = 1250 Гц

-----------------------------

₁ - ? ₂ - ? ....

Розв’язування: В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.

а) У випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число /4, тобто

l = (2k +1) /4,

де k = 0, 1, 2, ...;  - довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань  = v/.

Тому l = (2k + 1) , звідки  = .

Знайдемо ці частоти

k = 0; ₁ = = 100 Гц

k = 1; ₂ = = 300 Гц

k = 2; ₃ = = 500 Гц

k = 3; ₄ = = 700 Гц

k = 4; ₅ = = 900 Гц

k = 5; ₆ = = 1100 Гц

Наступна частота буде більша за ₆.

б) У випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, слід, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто

l = k , де k = 1, 2, 3, ....

З урахуванням того, що  = , маємо

l = k , звідки  = .