Механічні хвилі

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

де U_x,t - зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела; А - амплітудне зміщення цих точок; - хвильове число;  - довжина хвилі;  - циклічна частота коливань.

2. Рівняння сферичної хвилі.

,

де r - радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв`язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

де v - швидкість поширення хвиль в пружному середовищі; Т - період коливань;  - частота.

4. Швидкість поширення хвиль:

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

де Е - модуль Юнга;  - густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

,

де G - модуль зсуву;  - густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

v = ,

де K - модуль об’ємної пружності рідини;  - густина рідини.

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі :

v = ,

де  - стала Пуассона ; R - газова стала; Т - абсолютна температура;  - молярна маса газу.

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

K = ,

де m = Sx - маса виділеного елемента пружнього середовища; v = - швидкість хвильового руху.

б) потенціальна енергія

;

в) повна енергія хвиль

W = K + П =  S x² A²cos (t - kx);

г) густина енергії

w = ;

д) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

, .

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

де - середнє значення повної енергії хвиль.

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

,

де - середня густина енергії пружних хвиль; - вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

8. Ефект Доплера для звукових хвиль

 ,

де ^‘ - частота звуку яка сприймається приймачем;  - частота звуку джерела; с - швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі; v - швидкість руху приймача звуку; u - швидкість руху джерела звуку; нижній знак - джерело і приймач розходяться; верхній знак - джерело і приймач сходяться.

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 = 2 ­ 2n 

де х₂ - х₁ - різниця ходів хвиль;  - різниця фаз;  - довжина хвилі; n = 0, 1, 2, 3, ... - порядок max.

Або

x = x₂ - x₁ = n  

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 = 2 .

або

x = x₂ - x₁ = (2n + 1) /2.

10. Рівняння стоячої хвилі

U_x,t = A cos kxcos t ,

де U_x,t - зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань; А - амплітуда зміщення; k = - хвильове число;  - циклічна частота коливань; Acoskx  - амплітуда стоячої хвилі.

а) Координати вузлів стоячої хвилі

kx =  (2n + 1)/2 , або x =  (2n + 1)/4 ,

де n = 0, 1, 2, 3, ...; х - координати вузлів стоячої хвилі.

б) Координати пучностей стоячої хвилі

kx =  n або x =  n 

де n = 0, 1, 2, 3, .... .