Плотность энергии электростатического поля

 Используя (66), (50), (53), преобразуем формулу для энергии конденсатора следующим образом: _, где - объём конденсатора. Разделим последнее выражение на : _. Величина имеет смысл плотности энергии электростатического поля.

Вопрос №12

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента. Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика,

г де N - число молекул в объеме . Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса. В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов). Электронный тип поляризации характерен для диэлектриков с неполярными молекулами. Во внешнем электрическом поле положительные заряды внутри молекулы смещаются по направлению поля, а отрицательные в противоположном направлении, в результате чего молекулы приобретают дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля

И ндуцированный дипольный момент молекулы пропорционален напряженности внешнего электрического поля , где - поляризуемость молекулы. Значение поляризованности в этом случае равно , где n - концентрация молекул ; - индуцированный дипольный момент молекулы, который одинаков для всех молекул и направление которого совпадает с направлением внешнего поля. Ориентационнный тип поляризации характерен для полярных диэлектриков. В отсутствие внешнего электрического поля молекулярные диполи ориентированы случайным образом, так что макроскопический электрический момент диэлектрика равен нулю.

Е сли поместить такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, то на молекулу-диполь будет действовать момент сил (рис. 2.2), стремящийся ориентировать ее дипольный момент в направлении напряженности поля. Однако полной ориентации не происходит, поскольку тепловое движение стремится разрушить действие внешнего электрического поля. Такая поляризация называется ориентационной. Поляризованность в этом случае равна , где <p> - среднее значение составляющей дипольного момента молекулы в направлении внешнего поля. Решеточный тип поляризации характерен для ионных кристаллов. В ионных кристаллах (NaCl и т.д.) в отсутствие внешнего поля дипольный момент каждой элементарной ячейки равен нулю (рис. 2.3.а), под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные стороны (рис. 2.3.б). Каждая ячейка кристалла становится диполем, кристалл поляризуется. Такая поляризация называется решеточной. Поляризованность и в этом случае можно определить как , где - значение дипольного момента элементарной ячейки, n - число ячеек в единице объема.

Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением , где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вопрос №13

Поляризованность среды обладает примечательным свойством: поток вектора поляризованности среды через произвольную замкнутую поверхность численно равен величине некомпенсированных "связанных" зарядов внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком:     

(1). В локальной формулировке описываемое свойство описывается соотношением

(2) , где - объемная плотность "связанных" зарядов. Эти соотношения называют теоремой Гаусса для поляризованности среды (вектора поляризации) в интегральной и дифференциальной формах соответственно. Если теорема Гаусса для напряженности электрического поля является следствием закона Кулона в "полевой" форме, то теорема Гаусса для поляризованности является следствием определения этой величины.

Докажем соотношение (1), тогда соотношение (2) окажется справедливым в силу математической теоремы Остроградского-Гаусса.

Рассмотрим диэлектрик из неполярных молекул с объемной концентрацией последних, равной . Считаем, что под действием электрического поля положительные заряды сместились из положения равновесия на величину , а отрицательные - на величину . Каждая молекула приобрела электрический момент , а единичный объем приобрел электрический момент . Рассмотрим произвольную достаточно гладкую замкнутую поверхность в описываемом диэлектрике. Допустим, что поверхность проведена так, что в отсутствие электрического поля она "не пересекает" отдельные диполи, то есть положительный и отрицательный заряды, связанные с молекулярной структурой вещества, "компенсируют" друг друга.

Заметим, кстати, что соотношения (1) и (2) при и удовлетворяются тождественно.

Под действием электрического поля элемент площади поверхности пересекут положительные заряды из объема в количестве . Для отрицательных зарядов имеем соответственно величины и . Суммарный заряд, перешедший на "внешнюю" сторону элемента площади поверхности (напомним, что - внешняя нормаль к по отношению к охватываемому поверхностью объему) равен

      

.

Свойства вектора поляризованности среды

Проинтегрировав полученное выражение по замкнутой поверхности , получим величину суммарного электрического заряда, покинувшего рассматриваемый объем. Последнее позволяет заключить, что в рассматриваемом объеме остался некомпенсированный заряд - , равный по модулю ушедшему заряду. В итоге имеем:       , таким образом теорема Гаусса для векторного поля в интегральной формулировке доказана.

Чтобы рассмотреть случай вещества, состоящего из полярных молекул, достаточно в приведенных выше рассуждениях величину заменить на ее среднее значение .

Доказательство справедливости соотношения (1) можно считать законченным.

Вопрос №14

В диэлектрической среде могут присутствовать электрические заряды двух типов: "свободные" и "связанные". Первые из них не связаны с молекулярной структурой вещества и, как правило, могут относительно свободно перемещаться в пространстве. Вторые связаны с молекулярной структурой вещества и под действием электрического поля могут смещаться из положения равновесия, как правило, на очень малые расстояния.

Использование напрямую теоремы Гаусса для векторного поля при описании диэлектрической среды неудобно тем, что правая часть формулы

(1), содержит как величину "свободного", так и величину "связанного" (некомпенсированного) зарядов внутри замкнутой поверхности .

Если соотношение (1) почленно сложить с соотношением , получим , (2)

где - суммарный "свободный" заряд объема, охватываемого замкнутой поверхность . Соотношение (2) обуславливает целесообразность введения специального вектора

в качестве удобной расчетной величины, характеризующей электрическое поле в диэлектрической среде. Вектор раньше называли вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. В настоящее время входит в употребление термин "вектор ". Для векторного поля справедлива интегральная форма теоремы Гаусса: и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:

где - объемная плотность свободных зарядов.

Если справедливо соотношение (для жестких электретов оно не справедливо), то для вектора из определения (3) следует ,

где - диэлектрическая проницаемость среды, одна из важнейших электрических характеристик вещества. В электростатике и квазистационарной электродинамике величина является действительной. При рассмотрении высокочастотных колебательных процессов фаза колебания вектора , а значит и вектора , может не совпадать с фазой колебаний вектора , в таких случаях величина становится комплекснозначной величиной.

Рассмотрим вопрос, при каких условиях в диэлектрической среде возможно появление некомпенсированной объемной плотности связанных зарядов. Для этой цели запишем выражение вектора поляризации через диэлектрическую проницаемость среды и вектор :

в справедливости которого легко убедиться. Теперь представляющая интерес величина может быть вычислена:

(3)

В отсутствие в диэлектрической среде объемной плотности свободных зарядов величина может обратиться в нуль, если

а) отсутствует поле ; или б) среда однородна или в) векторы и - ортогональны. В общем случае необходимо вычислить величину по соотношениям (3).

Вопрос №17

Р ассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями и при отсутствии на границе свободных зарядов. Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы.

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

. Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

, где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции . Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим . Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора непрерывна. Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h. Учитывая, что для электростатического поля , и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде: ,

где - среднее значение E_n на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при , получим для касательных составляющих E .

Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид

Т аким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора непрерывна, а касательная составляющая вектора терпит разрыв. Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения

. При переходе в среду с меньшим значением угол, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в среду с большей линии векторов E и D, напротив, сгущаются и удаляются от нормали.

Вопрос №6

Теорема о единственности решения задач электростатики (заданы расположения проводников и их заряды).

Если задано расположение проводников в пространстве и полный заряд каждого из проводников, то вектор напряжённости электростатического поля в каждой точке определяется единственным образом. Док-во: (от противного)

Пусть заряд на проводниках распределён следующим образом:

Предположим, что возможно не только такое, но и отличное от него распределение зарядов:

(то есть отличается сколь угодно мало хотя бы на одном проводнике)

Значит хотя бы в одной точке пространства отыщется иной вектор E, т.е. вблизи новых значений плотности по крайней мере в каких-то точках E будет отлично. Т.о. при тех же самых начальных условиях, при тех же самых проводниках получим другое решение. Теперь поменяем знак заряда на противоположный.

(менять знак надо сразу на всех проводниках)

Вид силовых линий при этом не изменится (не противоречит ни теореме Гаусса, ни теореме о циркуляции), изменится только их направление и вектора E.

Теперь возьмём суперпозицию зарядов (комбинацию двух вариантов зарядов):

(т.е. наложим один заряд на другой, и зарядим уже 3-им способом)

Если не совпадает хотя бы где-то с , то хотя бы в одном месте получим какое-то , отличное от нуля.

, т.к. q – есть полный заряд, и , есть всего лишь различные его распределения по объёму -> при наложении –q получим ноль. Рассмотрим три случая, как могут располагаться силовые линии при некотором , отличном от нуля.

1 ) Берём в качестве контура одну из силовых линий, применяем теорему о циркуляции для этого участка – получаем только положительный вклад –> , значит такая картина силовых линий невозможна.

2) Аналогично предыдущему - , проекция на dl будет всегда положительна -> нет отрицательного вклада – нет равенства нулю, рисунок неверен.

3 ) уводим линии в бесконечность, не замыкая их на проводнике. при этом замкнутый контур L замыкаем на бесконечности. Но и вэтом случае обход по силовой линии не даст нулевой циркуляции.

Вывод: значит не может быть какой-либо отличной о нуля, значит распределение зарядов установлено единственным образом –> единственность решения, т.е. E – находим единственным образом.

Вопрос №7

Билет 7. Теорема о единственности решения задач электростатики. (заданы расположения проводников и их потенциалы).Если задано расположение проводников и потенциал каждого из них, то напряжённость электростатического поля в каждой точке находится единственным образом.

(Берклеевский курс)

Всюду вне проводника функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных: , или, иначе, (1)- уравнение Лапласа. Задача заключается в определении функции, которая удовлетворяет уравнению (1), а также определённым граничным условиям (в частности – определённая величина потенциала каждого проводника ). Покажем, что есть некоторое решение уравнения (1), и оно единственно.

Предположим, что имеется иная функция , которая также является решением, удовлетворяющим тем же начальным условиям. Известно, что уравнение Лапласа линейно. Следовательно если функции и удовлетворяют уравнению (1), то и их линейная комбинация также удовлетворяет этому уравнению. В частности рассмотрим разность, обозначим её W:

(2)

Очевидно, что W не удовлетворяет граничным условиям. У поверхности каждого проводника функция W равна нулю, так как и принимают одинаковое значение у поверхности проводника. Следовательно W является решением другой электростатической задачи, с теми же проводниками, но при условии, что все проводники имеют нулевой потенциал. Если это так, то можно утверждать, что функция W равна нулю во всех точках пространства. Если это не так, то она должна иметь где-то максимум или минимум. Путь W имеет экстремум в точке P, рассмотрим тогда шар с центром в этой точке. Нам известно, что среднее значение по сфере функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, равно значению функции в центре. Это несправедливо, если центр является максимум или минимумом этой функции. Таким образом, W не может иметь максимума или минимума, она всюду должна быть равна нулю. Отсюда следует, что = всюду, то есть мы доказали, что может существовать только одно решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям. Следовательно единственным образом мы найдём и E - ч.т.д.

Вопрос №27

Т рм. о циркуляции в-ра B

B= ; B_ldl = Bdlcosα = Brdφ = rdφ. Т.о.

Если ток вне контура, то ; В случае неплосокго контура угол dφ будет меняться не в плоскости а в пространстве, но все равно накрутка угла будет по всему контуру. Т.е., от смещения вверх-вниз ничего не изменится. Если ток течет по трубе. j – плотность тока. j = Δi/ΔS = di/dS – элементарный ток через площадку. di = jdS; j = qnύ где q- отд. заряд. n-концентр. . Т.о. трм о цирк верна всегда и мы это доказали.

Вопрос №28

Т рм. о циркуляции в-ра I.

I – вектор намагниченности. I = = N p_1м = Nn i₁ S \ c

dV = Sdl cosα; di_мол= i_1молNSdl cosα = cIdl cosα, N – число мол-л на 1см³. Вблизи контура считаем вещество однородным, т.е все диполи, все молекулы имеют одинаковый магнитный момент. Для подсчета возьмем молекулу, я дро которой расположено прямо на контуре dl. Надо посчитать, сколько атомов пересекут цилиндрик 1 раз => Это такие, чьи центры лежат внутри этого самого воображ цилиндра. Таким образом нас интересует только i_мол – т.е. ток, пересекающий поверхность, опирающуюся на контур.

Вопрос №9

М етод изображений.

В пространстве имеется эл. заряд. И S – эквипотенциальная поверхность, разделяющая пространство на два полупространства: I1, I2. В полупространстве I1 находится заряд q1. Поле в этом полупространстве векторно складывается из полей q1 и зарядов, индуцированных на поверхности S. В силу теоремы о единственности, поле таких зарядов эквивалентно полю, создаваемому зарядом q2. И проводящее тело можно убрать и заменить его точечным зарядом q2. Это справедливо и для нескольких зарядов.

Вопрос №15

Линейные среды. Связь между Р и Е, Е и D.

P= E

D= E+4P=E+4E=(1+4)E

D=E

 - диэлектрическая проницаемость.

1+4=

=(-1)/4 (вакуум =1 всегда).

P, E, D – вектора (мне рисовать их лень)

Вопрос №30

Линейные среды. Связь векторов B, H, I.

I=B,  I=H , 1, тогда BH

Эти два выражения верны в парамагнетиках и диамагнетиках

B=H+4I – выполняется всегда

B=H+4H=H

=1+4

 - магнитная восприимчивость

 - магнитная проницаемость

=(-1)/4

B, H, I – вектора (мне лень их рисовать)

Вопрос №31

Граничные условия для векторов B, H, I.

Рисунок – маленький цилиндр, разделённый поперёк границей раздела. Верхняя площадь основания – S1, нижняя – S2.

- теорема о потоке

S1=S2 – малы (В=const)

S_бокS1

B_1n1S1+B_nсрS_бок+В_2n2S2=0

B_1n-B_2n=0

B_1n=B_2n

На границе раздела двух магнетиков нормальные компоненты вектора В непрерывны.

Для Н_

Рисунок тот же, только вместо S – l, и проекция не на нормаль а на тангенциальное направление

Теорема о циркуляции Н

I_пов=0 ll

L – мала

H_1l1l+2B_срl +H_2l2l=0

H_1-H_2=0

H_1=H_2

H_1-H_2=4I_пов/с , I_пов0 – ток, который течёт через 1 см длины

Вопрос №21

Сегнетоэлектрики и их свойства. Сегнетоэлектрики - класс диэлектриков, обладающий электризованностью в отсутствии внешнего электрического поля. Если стрелками указать вектора поляризованности, то схематически можно представить

Внешнее поле отсутствует

сегнетоэлектрик обычный диэлектрик

Е сли в обычных диэлектриках диполи ориентированны хаотично, то сегнетоэлектриках эти диполи могут группироваться по десять, сто и более штук с параллельно ориентированными диполями. Сегнетоэлектрики - только полярные диэлектрики. Области сегнетоэлектрика с параллельно ориентированными дипольными моментами называется доменами.

При внесении во внешнее электрическое поле сегнетоэлектрик в целом переориентируется в пространстве блоками дипольных моментов и если первоначально при малых напряженностях электрического поля разворот доменов затруднен, то при дальнейшем увеличении Е домены разворачиваются вдоль силовых линий Е как единое целое, а дальнейшее увеличение Е уже не вызывает переориентации диполей, если все домены выстроились вдоль поля.

С егнетоэлектрик во внешнем электрическом поле.

При снятии внешнего электрического поля многие домены не возвращаются в исходное состояние. Таким образом, сегнетоэлектрик приобретает преимущественную поляризацию в отсутствии внешнего поля.

Свойства сегнетоэлектриков:

а) у обычных диэлектриков e составляет единицы, десятки единиц (c=1+e), у

сегнетоэлектриков сотни, тысячи единиц.

б) зависимость поляризованности от внешнего электрического поля нелинейна

( тогда, как Р= E для обычных диэлектриков, то есть линейна).

Вид зависимости, представленный на следующем рисунке, для поляризованности диэлектрика от внешнего электрического поля, носит название гистерезиса.

Вопрос №22

М агнитное поле проводника с током. В общем случае для определения магнитного поля от произвольного проводника с произвольным знаком протекания тока проводим дифференцирование. Определяем полную индукцию, как сумму элементарных индукций от элементов тока dl, содержащих dq движущегося заряда.

Согласно последнему утверждению, совпадает с перпендикуляром к плоскости, образованной векторами cкорости и радиус- вектора

Пользуясь известными формулами, получим:

Последняя формула и есть закон Био-Савара-Лапласа для определения магнитной индукции для проводника с током.

Вопрос №24