9.Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними.

n-мерный арифметический вектор-упорядоченный набор из n действительных чисел х1, …, хn .Записывается: а = (х1, …, хn).Числа хi (i = 1, …, n) называются координатами или компонентами вектора а. Всякий такой вектор можно трактовать и как матрицу-строку размерности 1 х n.

Действия над ними:

• Умножение вектора на число: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

• Сложение векторов: A=(1,2,3) B=(1,2,3); A+B=(1+1, 2+2, 3+3)

• Скалярное произведение векторов:

• Модуль вектора: a=(a1,a2,a3); |a|=√(a12+a22+a32)

10.Линейная зависимость и независимость арифметических векторов.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

11.Максимальная линейно независимая подсистема векторов.

- это любой набор векторов системы, удовлетворяющий следующим условиям:

• векторы этого набора линейно независимы;

• всякий вектор из системы линейно выражается через векторы этого набора.

*система векторов может иметь несколько разных максимальных линейно независимых подсистем.

12.Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы ). Обозначается .

Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему ) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество ) и выражается через другую (количество ) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы

13.Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов.

14.Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Пусть в матрице А найден минор М k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторится.

Найти ранг матрицы: . Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:    Минор 3-го порядка    ,  окаймляющий минор M₃ также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие M₃, равны нулю:

, Поэтому ранг А равен 3:  rangA = 3.

З а м е ч а н и е . Нахождение ранга матриц методом окаймляющих миноров требует вычисления определителей. Поэтому этим методом удобней пользоваться для вычисления ранга матриц небольшого размера. Для вычисления ранга матрицы, у которой число строк и столбцов больше трёх, рациональней использовать метод элементарных преобразований.