60. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов.

Пусть дан вектор , где x₁, x₂, …, x_n - координаты вектора относительно базиса и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.

Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)

где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

.

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.

Пусть λ₁, λ₂, …, λ_n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

61. Понятие сопряженного и самосопряженного оператора. Собственные числа самосопряженного оператора.

Определение. Сопряженным оператором к оператору называется такой оператор , который удовлетворяет равенству .

Определение. Оператор называется самосопряженным или симметричным (эрмитовым), если , т.е. . Оператор называется кососимметричным ( косоэрмитовым), если , т.е. . Оператор называется ортогональным (унитарным для ), если .

Собственные числа самосопряженного оператора.

Если собственные числа самосопряженного оператора  различны, то отвечающие им собственные вектора ортогональны и если их число совпадает с размерностью пространства, то из них можно образовать ортонормированный базис.

Доказательство. Действительно, пусть матрицам А и В операторов отвечают два собственных числа a, b и их собственные вектора X,Y.

Тогда: Х^тАY = Х^т(АY)=Х^т(aY)= a( Х^тY), а с другой стороны

Х^тАY = (Х^тА^т)Y=(АХ)^тY=(bX)^тY=(bХ^т)Y= b(Х^тY).

Иными словами, a( Х^тY)= b(Х^тY), а так как a¹b, то (X,Y)=0