58.Действия с линейными операторами.
Свойства оператора А
Оператор
А, действующий из V
в W,
называется линейным,
если для любых двух элементов
из
V
и произвольного числа а
выполняются следующие свойства:
П
усть
А и В – два линейных оператора, действующих
из V
в W.
Суммой
этих операторов назовем оператор А + В,
определяемый равенством для любого
из
V.
Легко видеть, что сумма линейных
операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А. О — нулевой оператор
4. (–А) + А = О.
Произведением
линейного оператора на скаляр
α
назовем оператор αА,
определяемый равенством
.
Ясно, что αА
– тоже линейный оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
Обозначим
через
множество
всех линейных операторов, действующих
из V
в W.
Произведением
линейных операторов
А и В из
называется
оператор АВ, определяемый следующим
образом:
для
любого
из
V.
Произведение линейных операторов тоже
будет линейным оператором.Справедливы
следующие свойства умножения линейных
операторов:
1. а(АВ) = (а А )В. 2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
59.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору. Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера. Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид где - соответствующие собственные значения.
Характеристический многочлен
Характеристическим многочленом оператора называется многочлен . Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора . Собственное значение оператора является корнем характеристического многочлена, т.е. . Обратно, любой корень характеристического многочлена является собственным значением оператора . Кратность как корня многочлена называется алгебраической кратностью собственного значения оператора . Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.