МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный университет

инженерной экологии

________________________________________________

В.П.МАЙКОВ

ВВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие

Москва – 2004

В.П.МАЙКОВ

ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.2

ББК 22.161

М12

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра кибернетики Ярославского государственного технического университета

д-р техн. наук, проф. Л.П. Холпанов, Институт новых химических проблем РАН.

Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области химической технологии и биотехнологии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов «Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии»

В.П.Майков

М12 Введение в системный анализ: Учебное пособие. – М.: МГУИЭ, 2004.– 192 с.

ISBN5-230-19731

Изложена совокупность методов и средств представления объектов исследования как некоторых систем со всеми вытекающими отсюда особенностями. Рассмотрение этих особенностей составляет сущность краткого курса «Системный анализ», читаемого на нескольких факультетах МГУИЭ. В пособии значительное место уделено наиболее трудно усваиваемому материалу -современному пониманию единства вещества, энергии и энтропии-информации в теории систем. При рассмотрении неопределенности статистического и общего типа привлекаются как классическая термодинамика, так и некоторые положения нелокальной версии термодинамики, развиваемой автором.

Курс ориентирован в своих основных приложениях на область химической техники и экологии.

Пособие предназначено студентам старших курсов и аспирантам технических университетов, а также полезно научным сотрудникам, интересующимся термодинамикой и теорией систем.

УДК 517.2

ББК 22.161

ISBN 5-230-19731 Ó В.П. Майков, 2005

Ó МГУИЭ, 2005

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………. 3

1.СИСТЕМНОСТЬ КАК СВОЙСТВО МАТЕРИИ

1.1.Системный анализ как прикладная диалектика…. 7

1.2.Системность практической деятельности………. 11

1.3. Системность познавательной деятельности…… 12

1.4.Системность как объект исследования……….…. 14

2.ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ………………....... 19

2.1.Системообразующие характеристики…………… 19

2.2 Субъективные и объективные цели……………… 22

2.3. Классификация систем…………………………… 22

2.4. Открытые системы…………………………………24

2.5. Большие и сложные системы…………………….. 26

2.6. Устойчивость химико-технологических систем.. 28

3.СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ…………………………... 32

3.1. Моделирование…………………………………….32

3.2. Кибернетический метод «черного ящика»…….. 35

3.3. Прямые и обратные задачи……………………… 36

3.4. Теория и математическая модель………………. 37

3.5. Дискретность и непрерывность………………… 38

3.6. Единство синтеза и анализа………………………41

3.7 Современное широкое толкование модели…….. 45

3.8.Метагалактика как термодинамическая

система……………………………………………… . 45

4.ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ ………………….. 53

4.1.Энтропия как мера статистической

неопределенности…………………………………… 53

4.2. Энтропия как мера количества

информации………………………………………… ..53

4.3.Энтропия непрерывного множества………… ..62

4.4.Энтропия как мера разнообразия,

неупорядоченности, хаоса……………………………64

4.5.Связь информационной энтропии с физикой…... 66

4.6.Энтропия как критерий максимального

правдоподобия…………………………………………75

4.7.Количество информации как критерий

оценки организованности системы…………………..81

5.КРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР

АЛЬТЕРНАТИВНЫХ РЕШЕНИЙ ………………… .86

5.1. Постановка задачи оптимизации…………………86

5.2. Экономические критерии оптимальности……… 88

5.3. Термодинамические критерии оптимальности... 90

5.4. Информационный критерий оптимальности….. 91

5.5. Системность критериев оптимальности………... 94

5.6. О методах оптимизации ………………………….96

5.7. Многокритериальные задачи оптимизации……. 99

5.8. Достоинства и недостатки идеи

оптимизации …………………………………………..100

6 ЭКСПЕРИМЕНТ И НАБЛЮДЕНИЯ…………...... 102

6.1. Эксперимент и модель, виртуальность……...... 102

6.2. Измерительные шкалы………………………….. 104

7. О НЕФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЭТАПАХ

СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА. …………………………108

7.1. Декомпозиция жизненного цикла проблемы…. 108

7.2. Формулирование проблемы и определение

целей…………………………………………... 110

7.3. Генерирование и отбор альтернатив………….. 111

7.4. Фреймовые модели…………………………….....115

7.5. Технократическая и гуманистическая системы

ценностей ………………………………………….. 117

Приложение: Нелокальная термодинамика ….. 119

Библиографический список……………………… 126

Введение

В последние десятилетия прошлого века во многих вузовских учебных программах появился курс системного анализа. О чем этот курс и что способствовало его появлению? К ответу на этот вопрос можно подойти по-разному. Вот один из этих ответов, правда, не претендующий на исчерпание проблемы. В школьных курсах при решении тех или иных задач учащийся часто может заглянуть в ответ, чтобы убедиться в правильности решения. В таких ситуациях не возникает сомнений в корректности постановки задачи. В инженерной практике приходится сталкиваться с задачами другого типа. Прежде чем задачу решать необходимо убедиться в ее правильной постановке. Таким образом, реальная задача как бы распадается на две части: на исходную постановку и собственно на ее решение в традиционном смысле.

Ясно, что эти части взаимосвязаны, так что формально верные результаты могут быть обесценены неудачной постановкой проблемы. Это обстоятельство особенно важно иметь в виду при решении сложных и очень сложных проблем, с которыми столкнулась не только инженерная, но и общечеловеческая практика в прошедшем веке. Конечно сразу же возникает вопрос, а можно ли вообще найти нечто общее в практике постановки и решении самых разнообразных по характеру проблем? Современная наука придерживается здесь мнения сдержанного оптимизма, развивая метод системного анализа. Системный анализ это совокупность методов и средств представления объектов исследования как некоторых систем со всеми вытекающими отсюда особенностями. Эти особенности систем вообще и изучают в курсе системного анализа.

Факторы, способствующие появлению системного анализа как университетского курса, следующие:

1. Необходимость формирования современного системного мышления у будущего специалиста или, по крайней мере, формирование понимания его сущности.

2. Необходимость быстрейшего преодоления узкой специализации.

3. Интеграция современного научного знания - наведение мостов между техническими и гуманитарными знаниями.

Настоящее учебное пособие написано на основе опыта преподавания курса "Введение в системный анализ" в Московском государственном университете инженерной экологии. При чтении курса за основу было принято учебное пособие для вузов: Ф.И.Перегудов, Ф.П. Тарасенко. Введение в системный анализ – М: Высшая школа, 1989. – 367 с.

В курсе, читаемом в МГУИЭ, материал смещен в область химической техники и термодинамики. Значительно усилен раздел, посвященный энтропии и информации. На отбор материала повлиял не только объем часов, отводимых в учебном плане (34–51 ауд. часов в зависимости от факультета), но в определенной степени также и научные интересы автора. В частности, для иллюстрации системных свойств объектов технического и природного происхождения достаточно широко используется развиваемая автором нелокальная версия термодинамики (НВТ).

В основном для преподавателей в приложении к пособию изложены основы нелокальной версии термодинамики.

1.СИСТЕМНОСТЬ КАК СВОЙСТВО МАТЕРИИ

1.1. Системный анализ как прикладная диалектика. Во второй половине прошлого века в разных сферах практической деятельности стали появляться научные направления, связанные с решением проблем, характерных для сложных и очень сложных систем. Эти направления получали разное название: в инженерной деятельности – "методы инженерного творчества", "системотехника"; в военной области– "исследование операций"; в научных исследованиях прикладного характера – "имитационное моделирование" и т. д. Впоследствии оказалось, что все эти направления содержат много общего. Формирование этого общего в единую методологию на основе исследования особенностей систем составляет сущность системного анализа.

Остановимся на некоторых особенностях системного анализа как научной дисциплины.

Рис.1.1. Фрагмент структуры научно-технического знания. I – философия; II – естественные науки (физика, химия, биология); III – междисциплинарные науки (математика, кибернетика, теория систем); IV - технические науки (техническая термодинамика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и многие др.); V – системный анализ; VI – теории технических систем; VII – алгоритмы расчета. Программные продукты.VШ – неформальные приёмы проектирования и конструирования

1.Курс системного анализа носит междисциплинарный характер. На рис.1.1 изображен фрагмент иерархической структуры научно-технического знания с указанием места, которое занимает в этой структуре системный анализ. Здесь следует обратить внимание на область наук междисциплинарного характера. Такой классической наукой, как известно, является математика, применимая к любой области знания. Аналогичный статус занимает кибернетика, возникшая в середине прошлого века, а также общая теория систем. К ним же можно отнести и системный анализ, который, используя положения как кибернетики так и общей теории систем, делает, тем не менее, акцент на прикладные вопросы.

2.В инженерной практике системный анализ акцентирует внимание направильную (системную) постановку задачи,а не только на ее формальное решение. Большое внимание здесь уделяется задачам оптимального проектирования, выбору критериев оптимальности.

3.Своеобразным теоретическим ядром системного анализа являются энтропийно-информационные понятия. В традиционных подходах используется в основном классическая вещественно-энергетическая компонента. "Первое, и быть может главное, отличие подхода к изучению любого объекта как системы, а не просто объекта, и состоит в том, что мы ограничиваемся не только рассмотрением и описанием вещественной и энергетической его стороны, но и (прежде всего) проводим исследование его информационных аспектов: целей, сигналов, информационных потоков, управления, органи-зации и т.д."[1, с.125].

4.Курс системного анализа имеет методологическую направленность, т.е. ориентирует на применение некоторых общих принципов при решении сложных задач, часто не претендуя на однозначность. Очень хорошо иллюстрирует эту особенность шутливое определение системного подхода: "системный анализ это неудовлетворительный метод решения задач в условиях, когда другие методы дают еще худшие результаты". Именно методологическая компонента, содержащая определенную философскую нагрузку, придает курсу междисциплинарный характер и служит связующим звеном между гуманитарными и техническими знаниями, что является одной из задач любого технического университета. Эта же особенность вызывает некоторые трудности в усвоении курса для студентов технических вузов, привыкших преимущественно к формальной (математической) логике.

Авторы первого учебного пособия по системному анализу [1] рассматривают системный анализ как прикладную диалектику. В этой связи полезно напомнить о месте диалектического метода в современной философии. Напомним, что в самой общей формулировке диалектика – это учение о развитии.

Можно выделить четыре главных философских направления в зависимости от характера ответа на два основополагающих вопроса [2].

1. Существует ли что-либо кроме материального мира?

2. Признается ли помимо формально-логического мышления существование также интуитивного мышления?

Положительный ответ на первый вопрос предполагает наличие некоторых сущностей вне материальных объектов (бог, космический разум, высший дух и пр.). Критерии, которым пользуется наука, не позволяют ей дать положительный ответ на первый вопрос: религия покоится на вере, наука же, наоборот, во всем ищет повода для сомнений. Отрицательный ответ на первый вопрос объективно относит исследователя к материализму, а положительный – к идеализму.

Остается теперь два возможных ответа на второй вопрос. Часть ученых придерживается точки зрения, согласно которой только формально-логическое мышление заслуживает доверия в научных доказательствах. Другие не согласны с этим утверждением, – если природа системна, то и мышление человека, даже если оно интуитивно, также системно и может содержать элементы истины. Известно, например, что А.Эйнштейн придавал большое значение научной интуиции.

Эти два разных ответа делят идеалистов на субъективных и объективных позитивистов, а материалистические взгляды приводят к метафизике и диалектике (см. табл.1.1).

Выделим основные признаки системности.К ним, обычно, относят: структурированность системы, взаимосвязанность составляющих ее частей, подчиненность организации всей системы определенной цели

В этом несложно убедиться практически на примере любой системы.

Табл. 1.1

О т в е т ы н а п е р в ы й в о п р ос
Д а		Нет
И д е а л и з м		М а т е р и а л и з м
О т в е т ы н а в т о р о й в о п р о с
Да	Нет	Да	Нет
Объективн. позитивизм	Субъективн позитивизм	Диалектика	Метафизика

Возьмем, например, вуз в качестве такого объекта. Здесь легко выделить структурированность: вуз как целое, факультеты, студенческие группы, учащиеся. Этот же объект можно структурировать по административному признаку: ректорат – административные подразделения. Наличие связей между структурными элементами не вызывает сомнения. Это же можно сказать и относительно цели вуза.

Рассмотрим далее в чем и как проявляются основные признаки системности на примерах, относящихся к человеческой деятельности.

1.2.Системность практической деятельности. Рассмотрим в историческом плане процесс повышения производительности труда и попытаемся найти заложенные в нем признаки системности.

Простейший и исторически первый способ повышения эффективности человеческого труда – механизация. Полезность механизации не требует пояснений. Однако механизация имеет естественный предел. Механизмами надо управлять и, по крайней мере, в некоторых случаях лучше выполняют эту функцию автоматы.

Так появляется новый этап в процессе повышения производительности труда – автоматизация. Автоматизация основана на жестком алгоритме действий, заранее заложенным человеком в автоматизированную систему. В случае нештатной ситуации вмешивается человек. Нельзя ли и в нештатных, т.е. непредвиденных случаях обойтись без человека?

Последнее возможно лишь при наличии "искусственного интеллекта". Такие системы в настоящее время уже создаются, а новый этап в процессе повышения производительности труда называют кибернетизацией.

Таким образом, в эволюции процесса повышения производительности труда мы легко различаем признаки системности – структурированность (механизация, автоматизация, кибернетизация); взаимосвязанность (например, автоматизация не могла возникнуть раньше механизации и т.п.).

Что касается третьего основного принципа системности – "наличия цели", то естественно, что на этапе механизации никто не ставил глобальной цели, связанной, например, с будущей кибернетизацией. К кибернетизации подводит п р о ц е с с э в о л ю ц и и в сфере производственной деятельности. Таким образом, вопрос о цели или, как выражаются философы, о целеполаганиине столь простой, как это представляется на первый взгляд, и он будет рассмотрен отдельно. Здесь же ограничимся замечанием о наличии локальной цели, которую, несомненно, ставит специалист, задумываясь о повышении эффективности того или иного производства.

1.3. Системность познавательной деятельности. С древнейших времен человека интересует устройство мира, в котором он живет. Процессу познания помогает наличие у человекааналитического образа мышления. Сущностьанализа состоит в разделении целого на части, в представлении сложного в виде совокупности более простых составляющих, в поиске проявления структурированности. Вспомним примитивные первые представления человека о мире, который образуют земля, вода, воздух, огонь… Но для познания целого необходим и обратный процесс –синтез.Человек, как продукт природы, обладает не толькоаналитическим, но и синтетическимстилем мышления, которые образуют естественное системноемышлениечеловека. В этом смысле задача курса системного анализа заключается в понимании такой особенности процесса мышления и сознательном повышении уровня его системности.

Сказанное относится не только к индивидуальному мышлению, но и к общечеловеческому процессу накопления знаний вообще. Так, аналитичностьчеловеческого знания находит отражение в существовании различных наук, в их продолжающейся дифференциации, выделении все большего числа объектов для исследования. Например, в последние годы прошлого века из классической механики выделилась квантовая механика, а на ее основе была создана квантовая теория поля, появилась специальная теория относительности как механика околосветовых скоростей; в свою очередь это привело к появлению общей теории относительности, или теории тяготения.

Однако обозначился и обратный процесс – синтезазнаний. Одной из форм его проявления явилось появление так называемых "пограничных наук" о чем свидетельствуют их названия: физикохимия, биохимия, биофизика и др. Другая, более высокая форма организации синтеза знаний, реализуется в появлении наук, отражающих самые общие свойства природы. К ним относятся и системные науки: кибернетика, теория систем, теория организации и др. В них необходимым образом соединяются технические, естественные и гуманитарные знания [1].

1.4. Системность как объект исследования. Обсуждение проблем, близких к системным, уходят в глубь веков. Здесь конспективно отметим лишь исследования, в которых системность в основном увязывается с естественными и техническими науками.

Первым вопрос о научном подходе к управлению сложными системами поставил хорошо известный французский физик и математик А.М. Ампер(1775 – 1836). В конце своей жизни он разработал классификацию наук, в которой выделил специальную науку об управлении государством и назвал ее к и б е р н е т и к о й. В кибернетике Ампера впервые подчеркиваются системные особенности предмета исследования.

В 1843г. вышла книга польского философа Б. Трентовского"Отношение философии к кибернетике как искусству управления народом" Трентовский ставил целью построения научных основ практической деятельности руководителя. Он писал:«Применение искусства управления без сколько-нибудь серьезного изучения соответствующей теории подобно врачеванию без сколько-нибудь глубокого понимания медицинской науки».

Значительный вклад в изучение общих свойств систем внес русский философ, медик по профессии, А.А. Богданов(1873 -1928). В 1911 – 1925 гг. вышли три тома его известной книги «Всеобщая организационная наука (тектология)». Хотя Богданов не дает строгого определения понятия организованности (см. об этом в п.4.6.), тем не менее, отмечает, что уровень любой организации тем выше, чем сильнее свойства целого отличаются от простой суммы свойств его частей. Большое место в тектологии уделяется закономерностям развития организации, взаимодействию собственных целей организации с целями ее соподчиненных частей и др. Об актуальности идей Богданова свидетельствует сравнительно недавнее переиздание тектологии [3].

1948 г. – год начала современного этапа развития системных представлений. Вышла в свет «Кибернетика» американского математика Н.Винера [4]. Первоначально кибернетика Винера вызвала «небольшой шок» среди научной общественности, поскольку претендовала на рассмотрение как технических, так и биологических, экономических и даже социальных проблем. В нашей стране кибернетика была встречена даже враждебно. Этому частично способствовали неосторожные заявления кибернетиков о «мыслящих машинах», что истолковывалось в буквальном смысле. С кибернетикой Винера связаны такие продвижения в развитии системных представлений как осознание понятия информации в качестве всеобщего свойства материи и количественное описание категории информации, выделение принципов оптимальности в проектировании и управлении, развитие методов моделирования на основе «расчетного эксперимента» и др.

В определенной степени независимо от кибернетики в этот же период развивается общая т е о р и я с и с т е м, родоначальником которой считается австрийский биолог Л.Берталанфи.Ему принадлежит начало систематического изучения особенностей о т к р ы т ы х с и с т е м, обменивающихся с окружающейся средой веществом, энергией и информацией (отрицательной энтропией).

К этому же периоду относятся работы канадского биолога и кибернетика Эшби (см. п.4.7).

Исследование открытых систем методами н е р а в н о в е с н о й термодинамики продолжает бельгийская школа, которую до недавнего времени возглавлял Нобелевский лауреат И.Пригожин.Как считает И.Пригожин в книге с характерным названием «Конец определенности»«За последние десятилетия родилась новая наука – физика неравновесных процессов, развитие которой привело к возникновению таких новых понятий, как самоорганизация и диссипативные структуры, повсеместно используемые ныне в широком спектре дисциплин от космологии, химии и биологии до экологии и социальных наук»[5]. Под диссипативнымиздесь подразумеваются организованные структуры, которые образуются вдали от термодинамического равновесия.

В кратком обзоре системных исследований следует выделить работы научной школы под руководством академика АН СССР В.В.Кафарова ( Московский химико- технологический университет им. Д.И. Менделеева). Они были первыми широкими исследованиями по применению методов кибернетики в химии и химической технологии [6].

Наконец, следует также назвать работы, проводимые в Московском государственном университете инженерной экологии, в которых был сделан переход от классической термодинамики к нелокальной, квантово- релятивистской, версии термодинамики с дискретной пространственно-временной метрикой [7, 8].

Освобождение классической термодинамики от идеализации сплошной, непрерывной среды привело к многочисленным новым следствиям фундаментального и, следовательно, системного характера. Некоторые из этих следствий нашли отражение в содержании настоящего учебного пособия и приложении.

В заключение краткого обзора стоит обратить внимание на разнообразный профиль ученых, принявших участие в формировании системных представлений: философы, математики физики, биологи и др. Последнее вполне логично, если учесть общенаучный характер системных исследований.

На рис.1.2 приведена схема, иллюстрирующая системность как всеобщее свойство природы.

В заключение приведу соображения, изложенные в работе[1]:«Наращивание системности знаний – естественный процесс, происходящий во всех областях человеческой деятельности стихийно (как результат обратной связи через практику, как форма развития). Осознание же системности нашего познания и окружающего мира – это более высокий уровень системности знаний, и оно происходит труднее, медленнее, с отставанием, задержками и петлянием, свойственными процессам блуждания и поиска. Это не бесцельное, хаотическое блуждание, а процесс поиска истины, в котором возможны задержки и ошибки, но его содержание и смысл не в них, а в продвижении к истине».

2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ

2.1. Системообразующие характеристики. Cуществует несколько десятков различных определений системы, но отсутствует одно общепринятое. Тем не менее все понимают о чем идет речь. Приведем наиболее часто употребляемые формулировки

Система – совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных единой целью.

Техническая система есть комплекс взаимосвязанных технических средств, обеспечивающих преобразования массы, энергии и информации.

Система в химической технике есть совокупность физико-химических процессов и средств для их реализации. Под средствами подразумевается как аппаратура, так и система управления процессом.

Далее приводится определение, взятое из последнего издания Советской энциклопедии:

«Система – множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которые образуют определенную целостность, единство».

В этом определении под отношением понимается вид связи; примеры отношений: причина – следствие, часть и целое, аргумент и функция и т.д.

На рис.2.1 представлена типичная системаиз области химической техники – трехколонная ректификационная установка, предназначенная для разделения четырехкомпонентной жидкой смеси на отдельные в достаточной степени чистые компоненты А,В,С,D. На примере этой системы рассмотрим главныесистемообразующие характеристики, которые в тексте выделены курсивом

Несложно уяснить, что представленная система состоит из трех элементов– ректификационных колонн. Однако понятие элемента условно и зависит от постановки задачи. Например, каждая колонна включает в себя определенное число массообменных устройств – массообменных тарелок. Тогда их можно принять в качестве элементов, а любая ректификационная колонна будет считатьсяподсистемой.

Иногда полезно кроме тарелок выделить в каждой колонне верхнюю и нижнюю секции, разделенные вводом питания. В этом случае секции станут подсистемами 2-го уровня, а колонна –подсистемой 1-го уровняи т. д.

Определение системы столь же условно, как и определение элемента. Представим, что питание в первую колонну поступает из реактора. Тогда при совместном рассмотрении ректификационной установки и реактора ректификационная установка будет лишь подсистемой соответствующего уровня.

Элементы и подсистемы имеют связи. Связи могут быть материальные, энергетические и информационные.

Составляющие системы вместе со связями образуют структурусистемы. Структура может быть однородной, если состоит из однотипных элементов (ректификационная установка), либо неоднородной (ректификационная установка, рассматриваемая совместно с реактором).

Соподчиненность типа элемент – подсистема – система образует иерархиюсистемы; в данном примере с тремяиерархическими уровнями.

В любой системе можно выделить окружающую среду – окружение.

Связь системы с окружением осуществляется через входные и выходные параметрысистемы. В системах химической техники это обычно параметры, характеризующие входные и выходные потоки в системе. Входные параметры делятся нанеуправляющиеиуправляющие.Значения неуправляющих параметров зависят от окружения, например, от режима реактора. Значения управляющих параметров назначаются в соответствии с требованиямиуправления. Этими параметрами можно управлять режимами системы. Например, для процесса ректификации управляющими параметрами обычно выступают количество подаваемого пара в кипятильник колонны и количество отбираемого продукта.

Управление увязано с цельюсистемы. В данном случае речь идет о получении продуктов А,В,С,D необходимого качества.

К а ч е с т в о д о с т и ж е н и я ц е л и, т.е. указание на то, с какими затратами достигнута цель, определяет системное понимание эффективности системы.

Типичным системным свойством является понятие эмерджентности, илиинтегративности– система не повторяет свойства элементов, из которых она состоит. В этом случае говорят, что в системе развиваются присущие только ейсистемные свойства.Классический пример – такие понятия как температура, давление типичные макроскопические свойства системы многих частиц.

К системным относятся также такие характеристики системы как надежность[9],устойчивость(см. п.2.6),организованностьсистемы (см. п.4.7) и некоторые другие понятия.

2.2. Субъективные и объективные цели. Остановимся подробней на понятии цели системы. Это не столь очевидное понятие, если оно относится к природным системам. Действительно, о какой цели можно говорить, если речь идет о живом организме как некоторой системе. Кто эту цель сформулировал или просто хотя бы имел в виду? Цель и целеполагание это один из вопросов, который упирается в философское мировоззрение. Например, не исключается и такой ответ: «Все природные объекты имеют божественное происхождение», что вполне в духе времени. Такой ответ, однако, не удовлетворит человека, обладающего системным мышлением, поскольку в нем для объяснения привлечен новый объект, который сам требует объяснения (см.п.1.1).

Диалектика развития материального мира такова, что все природные объекты проходят эволюцию. Тогда будущие состояния природных систем можно рассматривать как объективные цели.В такой трактовке цели технических систем, сформулированные человеком, естьсубъективные цели.

2.3. Классификация систем. Рассмотрим классификацию систем по основным признакам.

·По природной принадлежности системы можно разделить наестественные,созданные природной эволюцией, иискусственные. К последним относятся все технические системы, созданные человеком. Предлагается также [1] по этому признаку делить системы наприродные, технические и социотехнические.Под социосистемами подразумеваются системы, в которых участвуют коллективы людей, чьи интересы существенно связаны с функционированием системы.

·По характеру связи параметров системы с временем различаютстатическиеидинамическиесистемы. Параметры первых не изменяются со временем. Характеристики динамических систем, как известно, зависят от времени. Например, выход технологической установки на стационарный режим осуществляется в динамическом режиме. Различают два типа динамики систем:функционированиеиразвитие. При функционировании цель системы не изменяется. Развитием называют то, что происходит при корректировке целей системы, например процесс перехода от периодического производства к непрерывному. Эволюция природных систем всегда – развитие.

·По характеру связей параметров системы с ее геометрией в области химической техники выделяют системыссосредоточенными ираспределеннымипараметрами. Типичным примером системы с сосредоточенными параметрами является реактор идеального смешения. Если А есть некоторый параметр такой системы, например температура, то для нее производная¶А/¶x=0, где х – координата. В системе с распределенными параметрами (например, колонный массообменный аппарат)¶А/¶x¹0, т.е. температура, концентрации компонентов и некоторые другие параметры изменяются по высоте аппарата.

Системы идеального смешения описываются обычными алгебраическими уравнениями. Системы с распределенными параметрами требуют использования для своего описания дифференциальных уравнений.

·По характеру связей между входными и выходными параметрами системы делятся надетерминированные и вероятностные.Детерминированные системы имеют «жесткую», т.е. однозначную связь между входными и выходными параметрами системы. Классическими детерминированными системами являются механические системы. Классическими вероятностными системами являются живые организмы. Например, реакцию живого организма (отклик) на внешнее (входное) воздействие можно предугадать лишь приблизительно.

Объекты химической техники можно рассматривать как детерминированные системы только благодаря явлению эмерджентности (см. п.2.1). Действительно, технические системы имеют дело с макроскопическим количеством вещества, в котором стохастические свойства микроуровня проявляются достаточно редко.

2.4.Открытые системы. Отдельно следует остановиться на термодинамической классификации по характеру связей параметров системы с окружающей средой.

Изолированные системы– не обмениваются с окружающей средой ни массой, ни энергией.

Закрытые системы – не обмениваются с окружающей средой массой.

Открытые системы – обмениваются с окружающей средой массой и энергией.

Эта классификация очень важна для понимания сущности эволюции в живой природе по принципу – «от простого к сложному».На первый взгляд, это противоречит второму началу термодинамики, согласно которому в природе самопроизвольно идут только процессы с повышением энтропии – «от сложного к простому».Дело здесь в том, что все высокоорганизованные структуры, обладающие малой энтропией, являются открытыми системами. За счет своей открытости во время функционирования они как бы передают часть своей энтропии окружающей среде. Это, естественно, относится и к открытым техническим системам. Если теперь проследить за тем как ведет себя энтропия общей системы, «окружающая среда плюс природные объекты», то окажется, что в полном соответствии со вторым началом термодинамики энтропия такой глобальной системы будет повышаться. Особенно усиливает этот процесс хозяйственная деятельность человека. В этом сущность экологической проблемы. Естественно человек, как «венец природы» пытается замедлить рост энтропии. В настоящее время к этому сводятся, практически, все усилия экологов.

Согласно второму началу термодинамики рост энтропии закономерно должен привести к «тепловой смерти Вселенной». Но если это верно, то почему же это событие не случилось раньше? Это едва ли не самый трудный вопрос для классической термодинамики, да и для физики в целом

Сегодня считается, что в проблеме «тепловой смерти» нельзя полагаться на классическую термодинамику, так как она не учитывает наличие гравитации. В последние годы апробируется новая версия термодинамики, в которой удалось устранить недостатки классической термодинамики. Правда, это удалось достичь достаточно высокой ценой – пришлось отказаться от понятия точки (материальной, пространственной, временной), как объекта реальности. Чтобы понять, насколько велика эта «жертва» следует учесть, что это повлекло за собой отказ от использования понятия дифференциально малых величин. Новая теория квантово-релятивистского характера получила название нелокальной версии термодинамики (НВТ).

Согласно нелокальной версии термодинамики, учитывающей гравитацию, любая, даже классически понимаемая равновесная система, реально является открытойдля гравитационного взаимодействия [7]. Это приводит к процессу понижения энтропии и самопроизвольному понижению температуры среды. Правда это явление в обычных условиях не проявляет себя и соответствует понижению температуры всего на 510^-8К за 1000 лет (!)

Принципиально, однако, что в природе процесс возрастания энтропии (второе начало термодинамики) уравновешен процессом самопроизвольного понижения энтропии (первое начало термодинамики, уточненное теорией НВТ). Равновесный процесс самопроизвольного понижения энтропии получил название в НВТ явления инфляции. Он связан с известным в космологииинфляционнымрасширением Вселенной. Явление инфляции дает ключ к пониманию, почему невозможна «тепловая смерть Вселенной».

Из сказанного можно было бы сделать вывод, что с учетом гравитации все системы являются открытыми. На самом деле это не так, но обсуждение этого вопроса увело бы нас от открытых систем в область космологии. Частично эта проблема освещается в п.3.8, а более подробно в приложении.

Большие и сложные системы. Рассмотрим одну из существующих концепций отличия понятия «большая система» от термина «сложная система». Фактически здесь речь пойдет о продолжении классификации систем по новому признаку –по ресурсной обеспеченности управления системой.С учётом этой классификации считается, что система управляется с помощью ЭВМ, т.е. предполагается (иногда мысленно) участие математического описания в управлении системой. По такой схеме необходимые ресурсы для управления системой можно разделить на энергетические, материальные и информационные.

Э н е р г е т и ч е с к и е затраты на управление обычно очень малы по сравнению с количеством энергии, потребляемой или производимой самой системой. Это обычныесистемы. Но встречаются и исключения, когда энергетические затраты на управление сравнимы с общими затратами; например, поддержание космического аппарата на орбите (управление) требует энергетических затрат, сравнимых с другими затратами. Согласно разбираемой классификации такие системы называютсяэнергокритичными.

Под м а т е р и а л ь н ы м и ресурсами управления в случае использования ЭВМ, подразумевается объем памяти и машинное время. Такие ресурсы лимитируют возможности решения некоторых задач в масштабе реального времени. Имеется в виду, что время расчета параметров управления лимитировано, а результаты расчета должны быть получены «к нужному моменту времени». Если свойства системы таковы, что эти условия выполнить затруднительно, то такие системы предлагается относить к большим.

Наконец, третий тип ресурсов – и н ф о р м а ц и я, дает нам повод еще для одного способа деления систем. Если у нас нет надежного математического описания системы, и, следовательно, соответствующего программного продукта (информации) для управления системой, то такую систему будем называтьбольшой.

Рассмотренная классификация систем отражена в табл.2.1.

Табл.2.1

Классификация систем

по ресурсной обеспеченности управления системой.

Ресурсы для управления	Обеспеченность ресурсами
	полная	недостаточная
Энергетические	обычные	энергокритичные
Материальные	малые	большие
Информационные	простые	сложные

Согласно этой классификации возможны четыре комбинации, подчеркивающие различие между большими и сложными системами. Существуют системы:

– «малые простые»; например, исправные бытовые приборы – для пользователя; неисправные – для мастера; замок с шифром – для хозяина.

– «малые сложные»; неисправные бытовые приборы – для большинства пользователей.

– «большие простые»; шифр для злоумышленника – система простая, поскольку требуется лишь перебор вариантов и одновременно большая, так как имеющегося времени может не хватить на вскрытие шифра.

– «большие сложные» системы; мозг, экономика, живой организм.

Другие возможные подходы к понятию сложности можно найти в работе [1].

2.6. Устойчивость химико-технологических систем[6]. Рассмотрим сравнительно несложную химико-технологическую систему, состоящую из реактора и теплообменника (рис.2.2). В реакторе протекает экзотермическая реакция. Тепло, выделяемое в реакторе, используется затем для нагрева, поступающего в систему исходного продукта.

Рис.2.2. Схема реактор – теплообменник:

1 – реактор; 2 - теплообменник

Пусть температурная зависимость притока тепла в реакторе, которая определяется типом химической реакции, описывается s–образной кривойQ₁=f(T), а аналогичная зависимость для отвода тепла в теплообменнике выражается обычной, линейной функциейQ₂=f(T) (рис.2.3).

Рис.2.3. а) – направление возмущения;

б) – направление реакции на возмущение

Рассмотрим состояние системы, характеризующееся температурой Т₃. Предположим, что произошло случайное малое возмущение системы, и температураТ₃отклонилась на величинуDТ₃>0. Теперь система перейдет в новое состояние с температуройТ₃+DТ₃. Из рис.2.3 следует, что в новом состоянииQ₁<Q₂. Это означает, что из системы отводится тепла больше, чем его выделяется в системе. Следовательно, система начнет охлаждаться, возвращаясь в режим, отмеченный на рис.2.3 точкой 3.

Если рассмотреть случайное возмущение другого знака Т₃<0, то в этом случаеQ₁>Q₂. Это означает, что в систему притекает тепла больше, чем его отводится из системы. Следовательно, система начнет нагреваться, возвращаясь в прежний режим 3.Таким образом, приходим к выводу, что режим в точке 3 является устойчивым к случайным возмущениям.

Перейдем к рассмотрению особенности режима при температуре Т₂(точка 2). Пусть, как и в первом случае, возмущение направлено в сторону повышения температуры,Т₂0. Поскольку при этомQ₁>Q₂, то система будет разогреваться, т.е. отклик системы по действию совпадает с возмущением. Система уже не возвращается в исходное состояние 2, а постепенно «сползает» в новое устойчивое состояние 3.

Если же в состоянии 2 начальное возмущение направлено в сторону понижения температуры, DТ₂<0, то и в этом случае легко убедиться, что система не возвратится к состоянию 2, а перейдет в другое устойчивое состояние1.

Таким образом, устойчивыми режимами мы можем назвать такие состояния химико-технологических систем, при которых малые возмущения параметров практически не оказывают влияние на состояние системы. Для работы системы в состоянии 2 требуется специальная система стабилизации, в то время как для режимов 1 и 2 такие системы не обязательны.

3.СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ

3.1. Моделирование.Моделированием называется косвенный метод исследования, в котором исследуется не сам объект, а некоторая вспомогательная система, называемая моделью. При этом к модели предъявляется единственное требование: будучи исследована, модель должна предоставлять некоторую информацию об объекте. Обычно различают физическое и математическое моделирование.

Физическое моделирование.В определении моделирования отсутствует указание на природу самой модели. Если модель предметная (макет, экспериментальная установка), то обычно имеют в видуфизическое моделирование.

Теорией физического моделирования является теория подобия, подробно рассматриваемая в курсе «Процессы и аппараты химической технологии». Теория подобия устанавливает безразмерные числа подобия, которые должны соблюдаться при переходе от модели к объекту и наоборот. При этом предполагается, что известны дифференциальные уравнения, описывающие моделируемый процесс. Именно на их основе формулируются числа подобия. Если же не известны и дифференциальные уравнения, то можно воспользоваться так называемойp-теоремой, которая позволяет при некоторых дополнительных условиях получить безразмерные комплексы на основе анализа размерности первичных размерных параметров, участвующих в описании процесса, см.[10].

Математическое моделирование.Однако применение физического моделирования не всегда возможно, поскольку далеко не для всех объектов существуют непротиворечивые условия подобия. Тогда приходится отказываться от процедуры моделирования и прибегать к непосредственному исследованию объекта. В некоторых случаях физическое моделирование, связанное с созданием экспериментальной установки, не выгодно из экономических соображений.

Возможен другой, достаточно очевидный, косвенный способ воспроизведения свойств объекта, используя для этой цели его математическое описание. Такое описание принято в настоящее время называть математической модельюобъекта (системы), а операции с моделью –математическим моделированиемиличисленным экспериментом. Таким образом,математическая модель системы – это совокупность математических выражений, связывающих входные и выходные параметры системы.

В описании таких связей участвуют и другие параметры. В общей записи имеем

Y= F(X, Z, K, U),

где Y– множество выходных параметров;

X,Z – множество неуправляющих и управляющих

входных параметров;

K– множество конструктивных параметров;

U – множество других параметров;

F – множество функций.

Терминология математического моделирования стала общеупотребительной в связи с развитием современной вычислительной техники. Этому способствовал ряд обстоятельств. Широкие возможности вычислительной техники позволили разрабатывать достаточно подробные, уточненные математические описания, которые раньше были бы просто невостребованными при ручной практике расчета. Стало возможным просчитывать очень большое число вариантов, выбирая оптимальное решение. Работа с такими программными пакетами очень похожа на процедуру обычного эксперимента с той лишь разницей, что вместо экспериментальной установки, с которой снимаются обычно интересующиеся нас данные, используется компьютер.

По способу построения математические модели можно условно разделить на три группы.

·Т е о р е т и ч е с к и е модели. В основе таких моделей лежат естественно-научные законы. Такие математические описания наиболее часто используются при проектировании и разработке технических систем. Терминология в области математического моделирования не устоялась, и иногда математическое моделирование с использованием теоретических моделей из области физики называют также физическим моделированием.

·Э к с п е р и м е н т а л ь н о-с т а т и с т и ч е с к и е модели. В их основе заложен эксперимент (см.п.3.2).

·С м е ш а н н ы е математические модели содержат как теоретические, так и экспериментальные приемы. Например, хорошим примером смешанной модели могут служить критериальные уравнения, в которых безразмерные комплексы выводятся на основе теоретических положений, а степенная форма связи и значения самих степенных коэффициентов устанавливаются экспериментально. Вообще чисто теоретические модели встречаются редко. Например, в химической технике входящие в описания кинетические и некоторые другие коэффициенты устанавливаются как правило экспериментально.

Процедура математического моделирования в общем случае включает в себя следующие основные этапы: построение модели либо выбор ее по литературным данным; экспериментальная проверка модели или ее фрагментов на адекватностьее свойств реальному объекту (оригиналу); корректировка модели в случае необходимости; собственно применение модели для моделирования интересующих свойств объекта, например, определение оптимальных вариантов (см. разд.5)

Конкретных рекомендаций рецептурного характера для построения теоретических моделей, по-видимому, не существует – это, как правило, творческий процесс. Тем не менее, один класс теоретических моделей мы рассмотрим отдельно (см. п.4.6).

Проще обстоит дело с построением экспериментально-статистических моделей, о которых пойдет речь в следующем разделе.

3.2. Кибернетический метод «черного ящика». Наиболее распространенный метод получения экспериментально-статистических моделей известен как кибернетический метод«черного ящика».Это название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем устройстве моделируемого объекта, известны только его входные и выходные параметры как параметры связи объекта с окружающей средой. Обязательным условием применимости метода является наличие функционирующего объекта, для которого составляется математическая модель.

Рассмотрим принципиальную сторону метода «черного ящика». Метод основан на формальной аппроксимации связи между входными и выходными параметрами системы. Вид аппроксимирующей функции обычно постулируется и при необходимости может быть уточнен.

Пусть это будет полином второй степени, который используется для установления связи между качеством продукта реактора (y – выходной параметр) и режимными входными параметрами (x, z – объемная подача питания в реактор и температура реактора соответственно), т.е.

y = a_o + a₁x + a₂z + a₃x² + a₄z²,

где а_i– экспериментально определяемые коэффициенты.

Проделав первый эксперимент и сняв показания с объекта, получим значения y =y₁, x = x₁, z = z₁. Теперь можно записать

y₁=a_o+a₁x₁+a₂z₁+a₃x₁²+a₄z₁²

Аналогично для второго эксперимента

y₂ = a_o + a₁x₂ + a₂z₂ + a₃x₂² + a₄z₂² и т.д.

Очевидно, что пять экспериментов дадут пять подобных линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов а_i. В принципе математическая модель объекта составлена.

На практике метод несколько сложнее, так как для повышения его надежности требуется правильно выбрать экспериментальные режимы, дублировать их и т. д. [11].

Метод «черного ящика» удобен для применения в системах управления химико-технологическими установками с помощью ЭВМ. При этом управляющая ЭВМ, помимо режима управления, периодически работает в режиме опроса датчиков и уточнения эмпирических коэффициентов математической модели типа а_iв приведённом примере.

3.3. Прямые и обратные задачи. По способу использования математических моделей в инженерной практике следует различатьпрямыеиобратныезадачи. Прямые задачи в свою очередь делятся напроектные, ориентированные на расчет конструктивных параметров, иповерочные. В последнем случае подразумевается подбор оборудования из стандартного ряда, так что конструктивные параметры фиксированы, а расчетом проверяются возможности оборудования для конкретного случая.

В связи с широким распространением методов математического моделирования появилась потребность в так называемых обратных задачах.В этих задачах на основе математической модели и фактических значений входных и выходных параметров системы определяются плохо поддающиеся теоретическому прогнозированию некоторые коэффициенты, обычно кинетического характера (скорости химических реакций, коэффициенты массообмена и др.).

Следует обратить внимание на правильное толкование результатов обратных задач. Например, из обратной задачи по теплообмену можно получить выражение для коэффициента теплообмена в следующем виде =Q/FDT. Это не значит, что коэффициент теплообмена как ф и з и ч е с к и й п а р а м е т р зависит от поверхности теплообмена (F). Связь коэффициента теплообмена, как меры интенсивности процесса теплообмена, с другими физическими параметрами следует устанавливать на основе известных критериальных соотношений. Что же касается выражения=Q/FT, то эта запись «по определению», отвечающая на вопрос, что такое коэффициент теплообмена.

3.4. Теория и математическая модель. Рассмотрим, какие существуют различия между терминами «теория» и «математическая модель». Любая теория процесса или объекта может выполнять роль математической модели, но не наоборот – далеко не всякая математической модель cможет претендовать на статус теории. Требования к теории и математической модели различны. К последней, как уже было сказано, предъявляется единственное требование: будучи исследована модель должна предоставлять некоторую информацию о предмете исследования. Это и подразумевается под терминомадекватностимодели реальному объекту.

К теории предъявляются более жесткие требования. Теория, по мнению А.Эйнштейна, должна удовлетворять требованиям двух критериев: критерию «внешнего оправдания» и критерию «внутреннего совершенства». Первый критерий аналогичен по смыслу упомянутой адекватности математической модели.

Если с учётом математического моделирования не имеет значения способ, каким достигнута а д е к в а т- н о с т ь, то для оценки теории последнее имеет принципиальное значение. В этом сущность второго критерия – «теория по возможности не должна содержать допущения, сделанного специально для объяснения данного факта». Сказанное означает, что при оценке теории подвергается обсуждению вопрос о том, каким образом достигается свойство адекватности математического описания. В одном случае для этого могут использоваться фундаментальные физические положения – первопринципы, в другом обычная или несколько завуалированнаяформа математической аппроксимации(см. метод «черного ящика»).

Далее изложены некоторые современные представления о физической теории.

3.5. Дискретность и непрерывность. В связи с существованием критерия «внутреннего совершенства» теории кратко рассмотрим проблему дискретности и непрерывности в физической теории. Проблема носит методологический характер.

Проблема дискретизации (квантованности) физических параметров появилась вместе с рождением квантовой механики. По-видимому, первым, кто обратил на нее серьезное внимание, был выдающийся французский математик Пуанкаре, который писал в начале прошлого века: "Хорошо известно, к какой гипотезе пришел Планк, исследуя законы излучения <...> Едва ли нужно подчеркивать насколько эти идеи отличаются от традиционных концепций: физические явления, по-видимому, перестают подчиняться законам, которые можно выразить с помощью дифференциальных уравнений, и это, вероятно, самое большое и самое глубокое потрясение в философии естествознания со времени Ньютона."[12].

Известно также, что А.Эйнштейн в своей пострелятивистской научной программе предполагал переход к нелокальной (дискретной) концепции. В письме Гансу Мюзаму (1944г.) он так писал о своих планах: «Целью служит релятивистская характеристика физического пространства, но без д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений. Последнее не приводит к разумному пониманию квантов и вещества» [13]. (Подчеркнуто В.М.).

Позднее, главным образом благодаря работам в области сверхпроводимости, появилось понятие макроквантования. Оказалось, что некоторые явления можно описать, только признав, что «электроны шагают в ногу», т.е. допустив существование коллективных эффектов макроквантового характера [14].Таким образом, появились основания обсуждать проблему шире, не сводя ее только к особенностям описания процессов микроуровня. Вот что по этому поводу писал известный французский физик Л.Бриллюэн: «Математик определяет бесконечно малые, но физик абсолютно не в состоянии измерить их, и они представляют собой чистую абстракцию, лишенную физического смысла. Если мы примем операционную точку зрения, мы должны исключить бесконечно малые из физической теории, но, к сожалению, мы не имеем представления о том, как выполнить такую программу»[15].

Под операционной точкой зрения здесь подразумевается возможность экспериментального определения тех параметров, которые вводятся в теорию. О более глубокой сущности проблемы нелокальности можно найти в[16].

Далее будет показано, что НВТ существенно расширила возможности термодинамического метода при описании систем [17].

3.6. Единство синтеза и анализа.Аналитический метод, изначально органически привязанный к особенностям человеческого мышления, сводится к расчленению целого на части (анализ) и соединению их для образования целого (синтез). Успехи аналитического метода (редукционизма) привели к тому, что сами понятия «анализ» и «научные исследования» стали восприниматься как синонимы. С другой стороны появились даже предложения отказаться от термина «системный анализ», поскольку термин «анализ» противоречит целостности, заложенной в понятии «система».

Однако единство синтеза и анализа, понимаемое как единство «расчленения» объекта и «соединения» целого из деталей, далеко не полностью отражает современный взгляд на эту проблему. Появились дополнительные аргументы для развития сопутствующего, синтетического метода (экспансионизм). Авторы первого учебного пособия по системному анализу [1] приводят следующие высказывания на этот счет.

Конечной целью аналитического метода является установление причинно-следственных отношений между рассматриваемыми системами. Однако это далеко не всегда достижимо, а главное недостаточно.

Для п р и ч и н н о - с л е д с т в е н н ы х отношений не существует понятия о к р у ж а ю щ е й среды, так как для следствия ничего кроме причины не требуется. Примером может служить закон всемирного тяготения тел, который справедлив, если отсутствуют все другие силы, кроме тяготения (отсутствует окружение). Тем не менее, в некоторых ситуациях исключить «ненужные», «неинтересные» связи невозможно из-за необходимости сохранить адекватность модели реальному объекту. Один из способов описать такую ситуацию вытекает из синтетического, или экспансионистского,метода и состоит из признания того, что связь «причина - следствие» является не единственно возможным объяснением взаимодействия.

Более адекватной моделью взаимодействия оказывается отношение (связь) «п р о д у ц е н т - п р о д у к т». Такая связь характерна тем, что продуцент является необходимым, но не достаточным условием для получения продукта. Например, желудь для дуба является продуцентом, а не причиной, поскольку кроме желудя для произрастания дуба необходимы почва, влага, воздух, свет, тепло, сила тяготения и т.д. Таким образом, для продукта необходимы и другие условия, которые и образуют окружающую среду. Причинное, свободное от среды, описание является лишь идеальным, частным случаем продуцентного.

На рис.3.1 показана схема, иллюстрирующая единство синтеза и анализа, как единство редукционистского и экспансионистского подходов. Подведем итог.

	Окружение
Агрегирование (синтез)		Декомпозиция (анализ)
	Объект
Декомпозиция (анализ)		Агрегирование (синтез)
	Элементы

Рис.3.1. Единство синтеза и анализа

А н а л и т и ч е с к о е мышление, редукционизм.

Характерное отношение (тип связи): «причина-следствие».

Основные шаги аналитического мышления:

1. Разделение целого на части.

2. Объяснение содержания частей.

3. Синтез объекта из элементов.

С и н т е т и ч е с к о е мышление, экспансионизм (холизм)

Характерное отношение: «продуцент - продукт».

Основные шаги синтетического мышления:

1. Объект рассматривается как часть целого.

2. Объяснение целого, содержащего изучаемый объект.

3. Декомпозиция (анализ) для объяснения частей целого.

Интересно проследить реализацию этих методологических установок на примере нелокальной версии термодинамики. НВТ исходит из дискретности не только вещества и энергии, но и энтропии. Это приводит к выводу о дискретности всех макроскопических параметров, включая пространственные и временные масштабы (см.предыдущий раздел). Основным объектом исследования НВТ является макроячейка – минимальный макроскопический объем с характерными свойствами короткоживущего кластерного образования вещества и поля.В первом приближении макроячейка находится в динамическом равновесии сокружением. В классической термодинамике размер окружения ни чем не ограничен и может приниматься бесконечно большим. В НВТ это не так, поскольку, в отличие от классической термодинамики, здесь учитывается наличие гравитации. Правда в обычных условиях и в НВТ термодинамическая система (макроячейка плюс окружение) оказывается очень большой, размером почти с наблюдаемую Вселенную!

Может возникнуть недоуменный вопрос, каким образом за весьма короткое время жизни макроячейки оказывается вовлеченной в гравитационное взаимодействие вся Вселенная, ведь в физически корректной теории скорость любого сигнала не может превысить скорости света? Ответ столь же прост, сколь и неожиданный: взаимодействие в системе макроячейка – окружение не осуществляется по классической схеме: причина – следствие. В физической интерпретации это выглядит следующим образом. Согласно НВТ время дискретно; это означает, что существуют такие интервалы времени, внутри которых еще не сформировались классические понятия прошлого, настоящего и будущего, что необходимо для образования причинно-следственной связи. Обычно «безвременные» интервалы очень малы, если речь идет о веществе, но им могут быть эквивалентны миллиарды лет для вакуумной среды (!).

Запишем выражение для пройденного пути светом - cDtи проследим за эффектом дальнодействия. В классической, причинно-следственной интерпретации дальнодействие возможно только за счет сверхсветовой скорости, что противоречит основам современной физики. В НВТ дальнодействие возможно за счет нарушения причинно-следственной связи, т.е. за счет разного интервалаDtво взаимодействующих объектах.

В этом смысле в НВТ оправдываются прогнозы Ландау о будущей теории, которая «покажет, что в этих процессах не существует точно определяемых характеристик (даже в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзорным, каким оказались классические траектории в нерелятивистской квантовой механике"[18].

Классические теории «часто заканчиваются там, где начинается системность», т.е. традиционные теории не являются многоуровневыми. НВТ в этом смысле – удачное исключение. К проблеме многоуровневости теоретического описания мы вернемся в конце этого раздела.

3.7. Современное широкое толкование модели. В ХХ веке понятие модели становится все более общим, охватывающим и реальные, и идеальные модели

Разделим модели на познавательные и прагматичные.

Познавательные модели являются формой представления научных знаний. Естественно, что при расхождении между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения, что достигается с помощью модели (см. рис3.2а).

Несколько другой характер носят прагматические модели, которые являются формой организации практических действий. Примерами прагматических моделей могут служить планы и программы действий, уставы организаций, кодексы законов и т. д. Заметим, что согласование модели и реальности достигается здесь прямо противоположным способом, а именно не за счет модели, а корректировкой реальности (!) (см. рис.3.2б).

Рис.3.2 а) – схема познавательной модели;

б) – схема прагматической модели

Несмотря на широкое применение моделирования в современной науке, метод моделирования объективно ограничен. Ограничение диктуется особенностями метода. Чтобы популярно и наглядно объяснить особенности моделирования, в одном из зарубежных сборников по моделированию приводится такое остроумное сравнение: «Кочан капусты вполне может служить моделью головы короля». В этой шутке отражены все современные требования к моделированию в широком смысле: вычленение интересующих нас свойств (геометрия головы), адекватность, приближенность и др.

Как известно, метод моделирования основан на многообразии свойств любого реального объекта и объективной возможности отказаться от описания некоторых из них в конкретной задаче. Отсюда приближенность моделей и теорий.

Сравнительно недавно считалось, что природа в своей основе неисчерпаема. Вспомним знаменитое ленинское изречение: «Электрон также неисчерпаем, как и атом». Сегодня большинство физиков признают, что природа в своих фундаментальных физических основах может быть понята до конца. Это стало понятным, как только в физике укрепилось понимание квантовой неопределенности не как некоторого предела для познания, а как одного из фундаментальных свойств природы. Можно ожидать, что по мере продвижения в новые наиболее глубокие иерархические уровни природы их теоретическое описание в принципе не должно усложняться. Это можно продемонстрировать недавними результатами нелокальной версии термодинамики. Из нее, например, следует, что описание свойств жидкости или даже газа значительно сложнее описания свойств состояния физического вакуума. Это и понятно, при описании вещественного состояния (газ, жидкость) необходимо для адекватного описания так или иначе учитывать, что вещество погружено в физический вакуум. Анализ показывает, что системный подход требует трехуровневого описания. В то же время при описании физического вакуума как самостоятельного термодинамического состояния достаточно более простого, двухуровневого, рассмотрения. Имеются в виду два уровня физического вакуума – возбужденный и невозбужденный.

Вернемся к моделированию как методу, основанному на многообразии свойств любого реального объекта и на возможности вычленения некоторых из них. Можно ожидать, что по мере перехода к фундаментальным уровням число этих свойств будет сокращаться, так что исключение из описания части из них будет приводить к полной неадекватности математического описания, полученного методами модельных представлений.

Критику методов моделирования в физике можно найти в работах, относящихся еще к началу прошлого века. Так Макс Борн писал в своих воспоминаниях: «Постепенно и вопреки сильной оппозиции распространялось убеждение, что модели не только не нужны, но и мешают прогрессу. Явления природы нет необходимости сводить к моделям, доступным нашему воображению и объяснимым на языке механики, явления природы имеют собственную структуру, непосредственно выводимую из опыта » [19].

В следующем разделе показаны возможности термодинамического метода, из которого удалены следы модельности, связанные с принятием концепции непрерывности.

3.8. Метагалактика как термодинамическая система. В настоящее время в физике господствует механическая картина мира. В широком смысле и современная квантовая механика, и теория относительности А. Эйнштейна являются лишь обобщениями классической механики, в первом случае на область микроскопического уровня, во втором на область околосветовых скоростей. А следовало бы иметь дело не с обобщённой м е х а н и к о й, в которой изначально отсутствуют такие фундаментальные понятия как энтропия и температура, а с обобщенной т е р м о д и н а м и к о й. Нелокальная версия термодинамики (НВТ) как раз и является таким обобщением.

Для раскрытия темы, вынесенной в заголовок раздела, усилим сказанное ранее об НВТ некоторыми дополнительными положениями.

Прежде всего, отметим, что НВТ прогнозирует существование кроме проявленных, т.е. вещественных состояний материальной среды (твердое тело, жидкость, газ, плазма), еще и состояние физического вакуума.

Квант рассеяния любого параметра физического вакуума равен номинальному значению самого параметра. (DА=А), поэтому такое состояние относится к непроявленному, или виртуальному состоянию. Иными словами, виртуальное состояние характеризуется полным квантовым рассеянием параметров состояния. Виртуальные состояния являются реальными (так устроена природа), но непроявленными, и в этом смысле такие состояния не наблюдаемы.. В обычном употреблении этого термина под виртуальным часто подразумевается наоборот нечто наблюдаемое, но не реальное.

В природе встречается также другой тип ненаблюдаемых объектов. Они скрыты от наблюдения релятивистским горизонтом событий. Подобные объекты в космологии называются черными дырами. Например, в НВТ горизонтом событий для макроячейки является внешняя оболочка окружения (см. п.3.6). Это означает, что наблюдатель, находящийся за внешней границей окружения, не может наблюдать содержимого макроячейки, к которой относится это окружение. Черная дыра поглощает даже световой сигнал. Так как в обычных условиях, согласно НВТ, окружение эквивалентно наблюдаемой Вселенной, то можно сказать, что мы существуем в черной дыре. Однако, если бы мы сумели приблизиться к границе наблюдаемой Вселенной, то эта граница, как и полагается горизонту, была бы отодвинута. Правда, так просто «выбраться» из черной дыры возможно только в условиях космологической однородности пространства. Дальше нас будут интересовать объекты со свойствами черных дыр, порождаемые исключительно локальной неоднородностью наблюдаемой Вселенной.

А пока рассмотрим состояние черной дыры, образованной физическим вакуумом. Такое состояние называется сингулярным. В физической сингулярности все параметры состояния черной дыры достигают своих предельных значений, которые определяются только мировыми константами. Можно сказать, что на этом состоянии «заканчивается» термодинамика, да и физика тоже. Сингулярная макроячейка обладает уникальными свойствами. Достаточно сказать, что именно свойства этого состояния порождают численные значения мировых констант в физике. Например, гравитационную постоянную можно определить как параметр, задающий максимальную силу, существующую в природе F=c⁴/G. Эта сила способна за менее чем миллионные доли секунды ускорить массу, равную массе солнца, до скорости света.

Радиус сингулярной макроячейки равен радиусу окружения. Как следствие, сингулярная инерционная масса макроячейки равна не только тяжелой (гравитационной), но и всей гравитирующей массе. Таким образом, индивидуальная сингулярная макроячейка является виртуальной черной дырой. Такое состояние отличается от обычного проявленного, т.е. вещественного состояния двумя уровнями скрытности. Во-первых, параметры любого состояния физического вакуума скрыты от наблюдения, поскольку они виртуальны. Во-вторых, эти параметры в каждой сингулярной макроячейке скрыты индивидуальным для каждой макроячейки горизонтом событий.

НВТ прогнозирует очень высокую температуру сингулярного состояния, 10³² К. Тем не менее, по основным свойствам ее можно было бы отнести к «холодной температуре». Дело в том, что физический вакуум не способен передать свою энергию окружающей среде, так как энтропия любой макроячейки физического вакуума предельно минимальна и равна постоянной Больцмана. В вакуумной макроячейке температура выполняет свою основную роль в природе, являясь параметром, однозначно задающим характеристику пространственно-временной метрики (размер макроячейки и дискрет времени). Понижение температуры физического вакуума возможно только при самопроизвольном изоэнтропном расширении макроячеек. При обычных температурах этот процесс протекает чрезвычайно медленно (см. в п.2.4 об инфляции энергии), но в сингулярном состоянии процесс расширения протекает со скоростью взрыва. Это и есть тот самый «Большой Взрыв», с которым современная физика связывает «начало» Вселенной. Следует обратить внимание, что мы приходим к необходимости использовать выражение «процесс со скоростью взрыва», оставаясь в рамках расширенного понимания термодинамического равновесия. Это надо понимать в том смысле, что в природе не существует ни статического, ни даже динамического термодинамического равновесия.

Проследим, однако, было ли в действительности начало Мира. Для этого покажем, каким образом эволюция материальной среды, которая как будто бы «начинается» с сингулярной температуры, вновь приводит к состоянию сингулярности. Решающим моментом в понимании этого глобального космологического цикла является предсказание НВТ существования в природе, в области очень низких температур, фазового перехода квантово-релятивистского характера. Так, НВТ доказывает, что космологически большие массы плотного вещества (примерно не меньше двух масс Солнца) нельзя охладить до сколь угодно низкой температуры. Достигнув за счет гравитации термодинамически максимальной плотности, такая масса при температуре Т=2×10^-6К претерпевает фазовое превращение с диссипативным переходом в новое состояние и выделением эйнштейновской энергии mc². Этой энергии оказывается достаточной, чтобы материальная среда вновь достигла сингулярной температуры.

Таким образом, начатый с сингулярного состояния космологический цикл эволюции материальной среды замыкается. Внутри этого цикла идут процессы как с повышением, так и понижением энтропии. При этом в космологическом масштабе, в соответствии с уточненным НВТ первым началом термодинамики, превалирует процесс с понижением энтропии. Частично об особенностях этих процессов см. п.2.5.

Назовем только что рассмотренное состояние, которое приводит к фазовому превращению, критическим в космологическом смысле, и остановимся на системно-термодинамических особенностях этого состояния. Анализ показывает, что в критическом состоянии объем окружения, как и в сингулярном состоянии, достигает объема макроячейки. Эта общая особенность критического и сингулярного состояния, приводящая к их неустойчивости, вполне созвучна с системным утверждением, что «систем без окружения не существует». Если учесть, что макроячейка характеризует границу микро- и макроуровня, то интересно отметить, что в локальной циклической эволюции материальной среды решающей «точкой возврата» выступает состояние, в котором совпадают иерархические границы микро- макро- и мегауровней. Это касается как космологического критического, так и сингулярного состояния (точнее состояния-процесса).

Понятия одной теоретической концепции только приближенно можно перевести на язык иного подхода. Тем не менее физики, работающие в области космологии, без труда найдут соответствующие приближенные аналоги в стандартных космологических моделях механического и частично термодинамического происхождения. Так, состояния, близкие к критическому, легко идентифицировать с макроскопическими «черными дырами», а состояния вблизи с сингулярностью можно отнести к микро-дырам.

Что же касается квантово-релятивистского фазового перехода, то он проявляется в периодически наблюдаемых астрофизиками так называемых гамма-всплесках – мощных излучений, пока неизвестной природы. Трудность их идентификации усугубляется тем, что они испускаются из областей, в которых не наблюдалось никаких объектов ни до, ни после излучения. Последнее, впрочем, хорошо согласуется с физикой НВТ, согласно которой как начальный, так и конечный объект гамма-всплесков является состоянием со свойствами чёрной дыры.

Таким образом локальный космологический цикл материальной среды включает в себя: сингулярность (Большой Взрыв) – эволюция материальной среды – образование черных дыр с критическим состоянием – квантово-релятивистский фазовый переход – сингулярность.

Часть макроячеек из сингулярности не возвращается к проявленной материальной среде, а продолжает расширяться в состоянии физического вакуума, создавая фон, на котором развиваются рассмотренные циклические процессы. Астрофизические наблюдения позволяют установить к какой области расширяющегося физического вакуума относится наша Метагалактика, и таким образом можно установить её размеры и время существования. Это означает, что Метагалактика выступает как некоторая нас интересующая космологическая структурная единица. Если же быть объективным, т.е. отказаться от наблюдателя, то следует признать пространственные и временные рамки Вселенной неограниченными. Расширяясь, физический вакуум понижает свою температуру, но из термодинамики известно, что нуль абсолютной температуры недостижим.

4.ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ

4.1. Энтропия как мера статистической неопределенности. В одном из недавних общественных обсуждений проблем образования было высказано мнение, что каждый образованный человек должен понимать фундаментальность понятия неопределенности. В последние десятилетия этот термин уверенно лидирует среди физических первопринципов, проникая в новые области знания. В данном разделе надлежит ближе ознакомиться с этим понятием и уяснить связь неопределенности с системообразующими характеристиками.

Неопределенность может иметь разное происхождение. Один из ее видов – неизвестность– рассматривается теорией познания и философией; такого типа неопределенность возникает, когда мы, например, задаем вопрос «Есть ли жизнь на других планетах?» или «Существуют ли другие цивилизации?» и т.п.

Другой вид неопределенности – расплывчатость, размытость, – например, «Сколько надо взять песчинок, чтобы образовать небольшую кучу»? С неопределенностью этого типа мы встречаемся в квантовой механике. На её основе построена нелокальная версия термодинамики, которая способна ответить на сходный вопрос: «сколько надо иметь частиц, чтобы образовать макроуровень и каково квантовое рассеяние этого числа»?. Эта неопределенность объективна, для нее характерно, что она неустранима в процессе измерений. В математике такой неопределенностью занимается теория размытых множеств. Следует попутно отметить, что размытость – характерное свойство языка: «в комнату (какую?) вошел высокий (какого роста?) молодой (какого конкретно возраста?) человек (кто он?) и т.п.

Третий вид неопределенности – случайность. В ее основе лежат статистические закономерности, устанавливаемые теорией вероятности. Этот вид неопределенности используется статистической физикой и совместно с неопределённостью второго типа в квантовой механике. Отличительная особенность статистической неопределенности заключается в том, что для нее можно установить количественную меру, о которой пойдет речь далее.

Оставим пока в стороне вопрос о практической значимос888ти статистической меры неопределенности, сосредоточив внимание на её сущности. Рассмотрим несколько простейших ситуаций, которые будем именовать опытамиА,BиC. Предполагается, что читателю знакомы элементы теории вероятности.

О п ы т А будет заключаться в бросании монеты. В этом опыте возможны два исхода(k=2): “орел или решка”. Очевидно, вероятность каждого исхода (i=1,2).

О п ы т B– бросание игральной шестигранной кости. В этом опыте возможны уже шесть исходов (k=6). Вероятность каждого исхода .

О п ы т C предполагает одновременное бросание двух костей. Для этого опыта k=36 и .

Оценка неопределённости результатов опытов есть оценка трудности предугадывания исхода опыта. Интуитивно ясно, что из всех описанных ситуаций опыт С имеет максимальную неопределённость, поскольку число исходов здесь самое большое и заранее предвидеть исход этого опыта труднее всего.

Чтобы перейти к количественной оценке неопределённости сформулируем основные требования к функции, которая должна играть роль меры неопределённости. Будем обозначать эту функцию буквой H.

П е р в о е требование. Функция Ндолжна монотонно возрастать с увеличением числа исходов опыта.

В т о р о е требование. Функция Ндолжна быть равна нулю, если имеется единственный исход (k=1). Это означает, что если возможен лишь один исход, то никакой неопределённости не возникает и результат опыта можно предвидеть безошибочно.

Т р е т ь е требование. Обратим внимание на то, что один опыт С можно рассматривать как два опыта В, и потребуем, чтобы суммарное значение энтропии двух опытов В было равно энтропии опыта С

,

где ,

или в общем случае не для двух, а nпростых опытов

.(4.1)

Если бы третье требование не соблюдалось, то оценка неопределённости опыта С оказалась бы противоречивой и зависела бы от субъективной трактовки самого опыта – считать ли, что имел место опыт С, или всё же кости упали не одновременно и имели место два опыта В. Принятие этого требования равносильно введению свойств аддитивности для будущей оценки неопределённости. По умолчанию принимается, что рассматриваемые элементы (кости) не взаимодействуют между собой. В термодинамической трактовке это равносильно принятию идеальной системы.

Решим функциональное уравнение (4.1) относительно функции . Для этого дифференцируем обе части выражения (4.1-1) поk, используя требование монотонности функции :

. (4.2)

Теперь дифференцируем (4.1) по n

. (4.3)

Разделим уравнение (4.2) на (4.3)

,

что равносильно

.

Интегрируя это выражение, используя для правой части табличный интеграл, находим

,

где – постоянная интегрирования.

Из последнего выражения

.

Так как с увеличением kэнтропия растёт (первое требование), тоC>0, и это выражение можно переписать в следующем окончательном виде:

,a>1.

Из него следует, что оно удовлетворяет также второму требованию. Выбор основания логарифмов при a>1не имеет значения и определяет лишь выбор единицы измерения неопределённости. Чаще всего применяют двоичные или натуральные логарифмы. Если используют двоичные логарифмы, то за единицу измерения неопределённости принимают неопределённость опыта, который имеет два равновероятных исхода (опыт А). Такая ситуация отвечает энтропии одной элементарной компьютерной ячейки, в которой хранится либо 0 либо 1. Для этой ячейки

.

Такая единица измерения называется битом(от англ.binarydiget– двоичная единица).

Итак, при kравновероятных исходах неопределённость опыта составляет

, (4.4)

где p– вероятность исхода опыта.

Если учесть, что для равновероятных исходов

,

то, умножая (4.4) на единицу в виде суммы вероятностей , получаем

. (4.5)

Каждый член правой части этого выражения можно рассматривать как вклад отдельного исхода в общую неопределённость опыта. В случае равновероятных исходов вклад каждого из них в общую неопределенность опыта одинаков и формула (4.5) сворачивается в (4.4).

Выражение (4.5) легко обобщается на случай, когда вероятности исходов различны. В этом случае (4.5) можно рассматривать как среднюю энтропию опыта, а вероятности перед logприобретают смысл весовых коэффициентов. Теперь предполагается, что вклад каждого исхода в общую неопределенность опыта не обязательно одинаков. В качестве примера ситуации с неравновероятными исходами может служить опыт извлечения наугад шара из урны, в которой находится большое количество шаров нескольких цветов. Оговорка относительно большого количества шаров сделана специально, чтобы подчеркнуть вероятностный характер меры неопределенности.

Выражение (4.5) можно записать в компактной форме

. (4.6)

Здесь и далее подразумевается, что суммирование проводится по всем индексам.

Если число опытов N, то с учётом аддитивности энтропии

. (4.7)

Энтропия как мера неопределенности была введена американским математиком Клодом Шенноном в 1949 году при разработке математической теории связи [20]. Функцию типа (4.6), или энтропию выборачасто называют также шенноновской энтропией. Поскольку понятие энтропии сегодня становится общенаучным, то указание на ее информационное происхождение, как правило, используется лишь в случаях, если по тексту следует различать информационную и термодинамическую (физическую) энтропию.

Рис. 4.1. Зависимость энтропии для двух исходов опыта

Рассмотрим некоторые свойства энтропии. Отметим прежде всего, что энтропия не может принимать отрицательных значений: так как , товсегда положительно. Если, то(для доказательства следует раскрыть неопределенность типа ). Если, то также.

Так как только приp=0 илиp=1, то энтропия опыта равна нулю только в случае, когда одна из вероятностей равна единице и, следовательно, все остальные равны нулю. Это обстоятельство хорошо согласуется со смыслом величиныHкак меры неопределенности: в этом случае опыт вообще не содержит никакой неопределенности, так как результат опыта можно предвидеть заранее.

На рис.4.1 изображен график функции Hдля двух исходов опыта, из которого видно, как меняется энтропия при изменении одного из исходов опыта от нуля до единицы. Из графика следует, что максимальное значение энтропии соответствует равновероятным событиям,. При этом максимальное значение энтропии

В общем случае, т. е. не для двух, а kисходов опыта, максимальное значение энтропии соответствует.

Тот факт, что максимум энтропии отвечает равновероятным событиям, согласуется со смыслом энтропии. Действительно, в случае равновероятных событий нельзя отдать предпочтение ни одному исходу и таким образо8м предвидеть результат труднее всего.

4.2. Энтропия как мера количества информации.Вернемся к простейшим опытам с монетой или игральной костью. Перед проведением опыта существует некоторая неопределенность, связанная с незнанием результата опыта. После проведения опыта, т.е. после получения результата, эта неопределенность устраняется, исчезает. Однако так обстоит дело далеко не всегда, и в практике чаще всего встречаются случаи, когда и после окончания опыта еще остается некоторая неопределенность.

Если неопределенность до опыта составляла Н(априорная неопределенность), а после опыта –(апостериорная неопределенность), то очевидно, неопределенность, устраненная в ходе опыта, составит:

. (4.8)

Эта разность носит название количества информации.

Таким образом, количество информации есть количество устраненной неопределенности. В частном случае, когда неопределенность в результате опыта устраняется полностью, как это было в опытах А, В, и С, получаем:. Хотя здесь количество информации формально равно энтропии, следует иметь в виду различный смысл количества информации и энтропии. Энтропия (неопределенность) существует до опыта, тогда как информация появляется после проведения опыта. Просто следует учитывать, что для количественной оценки информации отсутствует другая мера кроме энтропии. Связь между понятиями энтропии и количеством информации напоминает соотношение между физическими понятиями потенциала (энтропии) и разности потенциалов (количество информации).

Количество информации, как и энтропия, измеряется в битах. Один бит информации – это количество информации, сообщающее о том, какое из двух равновероятных событий имело место. Например, количество информации, заключающееся в одной элементарной ячейке ЭВМ, содержащей либо 0, либо 1, составляет один бит.

Рассмотрим пример, в котором бы фигурировала апостериорная неопределенность. Пусть методом перебора вариантов ведется поиск корня некоторого уравнения с точностью до полуцелого числа. Предварительно известно, что значение корня находится в интервале от 1 до 100, так что следует перебрать 200 вариантов. Тогда неопределенность значения корня в равновероятном варианте (4.4) составит H = log₂200 = 13,3 бит.

Пусть проведена проверка 150 вариантов возможных значений корня, но корень не найден. Однако получена ли некоторая информация о значении корня? Несомненно, и чтобы ее определить, необходимо сначала найти остаточную (апостериорную) неопределенность: Н₁=log₂(200 – 150) = 5,6. Тогда искомое количество информации составит= 13,3 – 5,6 = 7,7 бит.

Условная энтропия. Рассмотрим понятие количества информации на примере передачи сигналов. Пусть передается группа сигналов азбукой Морзе:

        

До получения очередного символа на приемном конце существует неопределенность «какой сигнал будет отправлен?» Эту неопределенность можно характеризовать энтропией «на один символ» (4.6 ) при числе исходов k= 3 (точка, тире, пробел) с вероятностями р_i(i= 1, 2, 3). Вероятности появления на приемном конце точки, тире или пробела, т.е. вероятности (частоты) употребления символов конкретного языка специалистам известны из статистического анализа большого объема текстов на этом языке. Подсчитав энтропию на один символ, по формуле (4.6) легко определить общую энтропию сообщения (4.7). В данном примере 10 символов, включая пробел и, следовательно, N = 10.

Итак, на приемном конце до получения сообщения существовала априорная неопределенность (4.7) или на один знак (4.6). После получения сообщения неопределенность была устранена и получена информация I=H– 0.

Однако такая простая ситуация возникает, если сообщение передается без помех (канал без шума). Если имеется шум, то его действие приводит к тому, что переданный символ может либо остаться прежним (i-м), либо быть случайно подмененным любым другим (n-м) символом. Вероятность такой подмены по обозначению р(y_n  x_i), где х относится к переданному сигналу, а y к принимаемому сигналу в приемнике. В канале без помех y_n = x_i. Вероятность р(y_n  x_i) носит название условной вероятностиx_i) -–вероятность того, что отправленный i-й сигнал соответствует n-му сигналу на приемном конце. Конечно, эту ситуацию можно рассматривать и со стороны передатчика, используя условные вероятности вида р(x_iy_n). В этом случае р(x_iy_n) – вероятность того, что принятый на приемном конце n-й сигнал соответствует i-му сигналу на передающей стороне. Понятие условной вероятности вводит условную энтропию как функцию условной вероятности. В общем виде это записывается в следующих обозначениях:

I(X,Y) = H(X) – H(XY)

I(X,Y) = H(Y) – H(YX)

В этих идентичных выражениях условная энтропия играет роль апостериорной энтропии, а количество информации есть мера соответствиядвух случайных объектов Х и Y.

Эта мера позволяет понять связь между понятиеминформации и её количеством. Информация есть отражение одного объекта другим. В данном примере такими объектами являются приемник и передатчик. Среднее же количество информации и есть числовая характеристика полноты этого отражения, степени соответствия, наконец,степени взаимодействияэтих объектов. Но при взаимодействии объекты оказывают влияние друг на друга, и мы привыкли при этом различать причину и следствие.Количественное описание информации это другой тип описания взаимодействий, никак не связанный с классическими причинно-следственными описаниями. Такой тип связи характерен для НВТ.

Здесь полезно обратиться к п.3.6, где уже касались ограничений классического, причинно-следственного механизма при описании взаимодействий в открытой системе.

4.3.Энтропия непрерывного множества.Ранее была рассмотренаэнтропия дискретного множества.Это означает, что подразумевались системы, где число возможных исходов (элементов множества) конечно. Однако приходится часто сталкиваться с ситуациями, когда число элементов может быть сколь угодно велико. Из теории вероятностей известно, что в этом случае следует иметь дело не с вероятностью отдельного исхода, которая равна нулю, а с плотностью распределения вероятности. Эта функция обладает таким свойством, что величина есть вероятность того, что интересующая нас переменнаяx(значение корня в примере п.4.2.) примет значения, заключенные в интервале отxдоx+dx.

Теперь для оценки неопределенности необходимо прибегнуть к энтропии непрерывного множества, которая по аналогии с энтропией дискретного множества (4.5) имеет вид

. (4.9)

В качестве примера использования этой функции, попытаемся оценить неопределенность опыта, связанного со случайным поиском в заданном интервале значения корня (см. п.4.2) при отсутствии ограничения на точность поиска.

Повышая требования к точности ответа, можно ожидать сколь угодно большого числа возможных исходов опыта. При этом вероятность каждого исхода стремится к нулю, а искомый корень может принимать все возможные (бесчисленные) значения в заданном числовом интервале от 0 до 200. Попробуем использовать для этой же задачи энтропию непрерывного множества. Введем отрезок длиной l=x₁–x₀относительных единиц. Вероятность обнаружить значение корня на участке dx составляет dx/1. С другой стороны, эта же вероятность по определению. Следовательно, для равновероятного случая=dx/lи= 1/l.Подставляя это значение в (4.), несложно получить H = log₂l= 5,6 бит.

Сравним полученный результат с примером в п.4.2. В случае дискретного множества в энтропии используется число дискретных интервалов на выделенном отрезке, а в случае непрерывного множества – относительная длина самого отрезка. Заметим, что длина должна быть выражена в относительной форме, в противном случае под логарифмом появилась бы размерная величина. Масштаб приведения к относительной форме не имеет для информационной энтропии принципиального значения, поскольку с самого начала энтропия введена с точностью до множителя (до постоянной интегрирования, см процедуру интегрирования в п.4.1).

Энтропия непрерывного множества или дифференциальная энтропия(4.9) обладает большинством свойств энтропии дискретного множества.

В современной литературе можно встретить критику понятия дифференциальной энтропии и вытекающего из этого понятия дифференциального количества информации[21]. Эта критика по своему характеру совпадает с критикой концепции непрерывности, рассмотренной ранее в п.3.5.

4.4.Энтропия как мера разнообразия, неупорядоченности, хаоса.До сих пор понятие энтропии связывалось с неопределенностью. Энтропия допускает и другое толкование. Представим себе систему, состоящую из камеры, в которой находятсяNшаровmтипов, отличающихся, например, цветом.Предполагается, чтоNдостаточно большое число. Обозначим долю шаровi-го типа (цвета) –. Если произвести опыт над системой, заключающийся в извлечении наугад одного шара, то энтропия одного опыта согласно (4.6) составит:

. (4.10)

При этом принято, что размеры шаров одинаковы, в противном случае вероятность извлечения шаров i-того типа не будет точно соответствовать их доле в камере. Энтропия всех опытов над системой

. (4.11)

Поскольку правая часть последних выражений включает в себя параметры, характеризующие содержимое системы, то возникает вопрос, нельзя ли не обращаясь к опытам с шарами уяснить, с какой точки зрения эти функции характеризуют содержимое камеры.

Первая из двух функций характеризует степень неупорядоченностисистемы или степень разнообразия в ней с учётом выбранного признака для различения элементов системы (цвета шаров). Если бы в камере находились шары одного типа, тогда одно из значений вероятностиp=zравнялось бы единице, а все остальные – нулю, и энтропия приняла бы нулевое значение. Это означало бы, что система полностью упорядочена, или, что то же самое – в системе отсутствует разнообразие по оцениваемому признаку (цвету).

Вторая функция (4.11) измеряет неупорядоченность (разнообразие) в системе несколько иначе. Отличие этих двух функций можно иллюстрировать следующим примером. Если камеру разделить на две части, то при достаточно большом количестве шаров в ней доля шаров i-го типа в каждой из двух частей останется прежней, но число шаров уменьшится вдвое, также вдвое уменьшится неупорядоченность, оцениваемая формулой (4.11). Однако степень неупорядоченности для каждой из двух частей, оцениваемая функцией (4.10) останется прежней.

По аналогии с только что рассмотренным примером формулой (4.11) можно оценивать неупорядоченность потока смеси каких-либо веществ. В этом случае – концентрацияi-го компонента в мольных долях;N– расход потока или число молекул, проходящее через некоторое сечение в единицу времени. Поскольку числоNв практических задачах всегда очень велико, можно перейти к иному масштабу для энтропии. Например, поделив левую и правую части на число Авогадро, получим

, (4.12)

где F– расход потока, кмоль/ед. времени. Обозначение энтропии в новом масштабе оставлено прежним.

Таким образом, энтропия оценивает разнообразие элементов в системе по некоторому определенному признаку, который может нас интересовать в той или иной задаче; см п. 4.6 и 4.7.

Обратим внимание, что выражение (4.10) с точностью до множителя совпадает с термодинамическим выражением для мольной энтропии смешения идеального газа

S= –R, (4.13)

где R– газовая постоянная.

На этом примере можно заметить связь информационной энтропии, введенной в предыдущих разделах без использования каких-либо физических принципов, с термодинамикой. Здесь полезно также отметить не только внешнюю, структурную аналогию. Энтропия смешения (4.13 ) это только энтропия термодинамически и д е а л ь н о й смеси. При рассмотрении камеры с шарами также были приняты некоторые ограничения, например, требование равных размеров шаров.

Энтропию, записанную через вероятности, часто называют функциональной, в отличие от энтропии, выраженной через мольные доли, которую именуютатрибутивной.

4.5.Связь информационной энтропии с физикой. Понятие энтропии впервые было введено в термодинамику Клаузисом как соотношение, связывающее элементарное приращение энтропииdSс элементарным количеством теплотыdQпри температуреТ

dS = dQ/T (4.14)

Это выражение мало говорит о физической сущности энтропии. В физике неоднократно делались попытки раскрыть содержание этого понятия, руководствуясь модельными представлениями.

Энтропия Больцмана.Рассмотрим основанное на статистическом подходе известное уравнение Больцмана

, (4.15)

где k_B – постоянная Больцмана,k_B=1,3810Дж/К;W– число микросостояний.

Для того чтобы понять сущность статистических методов в качестве начального примера рассмотрим газ, как ансамбль большого числа частиц. Первое, что кажется необходимо сделать при построении математической модели поведения частиц, это попытаться записать уравнение движения для каждой из них, ведь газ, во всяком случае в первом приближении, представляет собой систему частиц, движущихся по законам механики Ньютона.

Однако при таком подходе число уравнений становится невообразимо велико, не говоря уже о том, что для интегрирования этих уравнений необходимы начальные скорости и координаты каждой молекулы. Тем не менее, такой путь не только сложен, но и бесплоден, поскольку знание траекторий и закона движения отдельных молекул оказывается не даёт никакой информации относительно свойств газа в целом. Дело в том, что в системе, состоящей из многих частиц, возникают новые, чисто статистические системные, или интегративные закономерности, которых не было в системе с малым числом частиц.

Проследим на весьма упрощённой модели, как появляются эти новые свойства, связанные с понятием энтропии Больцмана.

Для наглядности возьмем систему всего из десяти частиц (N=10), распределённых на четырёх энергетических уровнях, имеющих относительные величины энергии 1, 2, 3 и 4. Общая энергия системы равна 20 относительным единицам. Задача заключается в том, чтобы высказать некоторые соображения относительно того состояния, которое примет система, предоставленная самой себе, т.е. относительно того, как распределятся частицы по уровням энергии.

Для этого выясним, какие энергетические распределения частиц возможны. При этом будем различать изменения микро- и макросостояния системы. Если произошло изменение ч и с л а частиц на каком-либо энергетическом уровне, то будем говорить об изменении макросостояния системы. Если же произошёл только о б м е н частиц между энергетическими уровнями, но число частиц на каждом уровне энергии осталось прежним, будем фиксировать изменениемикросостояния системы. Для внешнего наблюдателя, следящего только за макросостояниями системы, изменения микроскопического характера окажутся незамеченными, а микросостояния неразличимы. Одно макросостояние может быть реализовано с помощью очень многих микросостояний.

Так, одно из возможных макросостояний в рассматриваемой системе из десяти частиц таково: на первом энергетическом уровне находится одна частица (N₁=1), на втором располагаются восемь частиц (N₂=8) и одна занимает третий уровень (N₃=1). Четвертый уровень не занят. Общая энергия равна 11+82+13+ 40=20. Предположим, что частицы пронумерованы. Тогда данное макросостояние можно было бы осуществлять различным способом (через различные микросостояния), помещая, например, на уровеньcэнергией 1 поочерёдно частицы с номером 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., т.е. осуществляя разные перестановки частиц, не нарушая макросостояния системы.

Число возможных перестановок можно рассчитать по следующей формуле статистической физики:

. (4.16)

Здесь r– число энергетических уровней; в данном примереr= 4.

Если теперь перейти к другому макросостоянию, т.е. взять иное распределение частиц по энергетическим уровням, например, N₁=2,N₂=7,N₃=0 иN4=1 (общая энергия 21+72+14 = 20), то число способов осуществления данного макросостоянияWоказывается равным 360.

Сводные результаты расчёта для всех возможных макросостояний приведены в табл.4.1, из которой следует, что для данной системы из 10 частиц возможны 14 макросостояний и 44803 различных микросостояния. Важно отметить, что из всех микросостояний около 28% принадлежит только одному макросостоянию (последняя строка в таблице).

Следовательно, если вероятность пребывания системы в любом микросостоянии одинакова и равна 1/44803, то вероятность пребывания системы в том или ином макросостоянии оказывается различной и тем значительней, чем больше способов осуществления данного макросостояния.

В данном примере в среднем в 28 из 100 случаев система, предоставленная самой себе, будет принимать макросостояние, соответствующее последней строке таблицы. В примере участвует только 10 частиц и всего лишь 4 энергетических уровня. Анализ показывает, что если число частиц и число энергетических уровней станет очень большим, как это имеет место в реальных системах, то всегда есть одно макросостояние, число способов осуществления которого (число микросостояний) будет значительно преобладать над остальными. Например, более 99,99% всех возможных микросостояний может принадлежать только одному макросостоянию. Это конкретное макросостояние, которое осуществляется максимальным числом способов, определяет свойства системы, и является наиболее вероятным, поэтому всеми другими распределениями можно пренебречь. Далее под числом Wбудем понимать число способов осуществления только одного, наиболее вероятного макросостояния. При этом оказывается, что энтропия Больцмана (4.15) с точностью до постоянного множителя совпадает с величинойlnW.

Согласно второму началу термодинамики энтропия неравновесной закрытой системы может только повышаться, что означает по Больцману увеличение числа возможных микросостояний.

Табл. 4.1

Распределение частиц по энергетическим уровням .

Номер	Уровни энергии				Wj	Wj/Wj ×100
J	1	2	3	4
1	0	10	0	0	1
2	1	8	1	0	90	0,2
3	5	0	5	0	252	0,6
4	2	1	0	1	360	0,8
5	6	1	0	3	840	1,9
6	6	0	2	2	1260	2,8
7	2	6	2	0	1260	2.8
8	4	2	4	0	3150	7,0
9	4	4	0	2	3150	7.0
10	3	4	3	0	4200	9,4
11	3	5	1	1	5040	11
12	5	1	3	1	5040	11
13	5	2	1	2	7560	17
14	4	3	2	1	12600	28
Всего					44803	100

Если теперь воспользоваться информационной энтропией для оценки неопределённости, связанной с установлением (определением) того микросостояния, в котором находится система в данный момент, то, принимая во внимание, что все микросостояния равновероятны, получаем согласно формуле (4.4):

. (4.17)

Сравнивая выражения (4.15) и (4.17), нельзя не обнаружить их сходство. Они отличаются лишь на величину постоянного множителя, что для информационной энтропии не имеет принципиального значения. Заметим, что размерность физической энтропии Дж/К в известной мере условна, так как связана исключительно с использованием температурной шкалы для оценки степени нагретости тела. Если для этой же цели использовать энергетическую шкалу, как это часто принимается в физике, т.е. под температурой подразумевать произведение k_BТ, тогда и физическая энтропия станет безразмерной.По глубокому физическому смыслу энтропия безразмерна.

Покажем, что аналогия между энтропией Больцмана и информационной энтропией существует не только для равновероятных событий (формула (4.4), но и для общего случая (4.7). Раскроем значение W, воспользовавшись выражением (4.16), предварительно прологарифмировав его:

.

Используя формулу Стирлинга , находим . Заметив, что , а , получаем:

.

Умножив обе части этого выражения на и полагая, что есть вероятность обнаружить частицу наi-м энергетическом уровне, имеем:

.

Таким образом, получили выражение, аналогичное информационной энтропии (4.7).

Когда речь идёт о физической энтропии, то всегда имеют в виду неупорядоченность только одного рода, а именно неупорядоченность, связанную с хаотическим тепловым движением молекул. При этом способ оценки неупорядоченности (через логарифм вероятности) в термодинамике и теории информации остаётся одним и тем же.

Поскольку понятие энтропии в теории информации не связывается с каким-либо определённым типом неупорядоченности, то в этом смысле оно является более широким, чем понятие энтропии в статистической физике.

Термодинамическая энтропия. Уравнение Больцмана формулирует энтропию модельными средствами на вероятностной основе независимо от феноменологии термодинамики. Исторически это было связано с попыткой увязать некоторые термодинамические параметры с механикой, отчасти также с тем, чтоклассическая термодинамика, в которой энтропия введена соотношением Клаузиуса (4.14), не дает детального описания явления, связанного с этим фундаментальным термодинамическим параметром. Не в последнюю очередь это связано с тем, что природа термодинамической энтропии дискретна, а ее истолкование в физике происходит на классической, непрерывной (континуальной) основе.

Рассмотрим новые возможности, которые предоставляет обобщенная, нелокальная версия термодинамики с дискретной энтропией в раскрытии физического содержания термодинамической энтропии.

Убедимся, прежде всего, что при подстановке в соотношение Клаузиуса макроквантовых аналогов для минимальных приращений энтропии и теплоты dS k_BиdQ k_BT, выражение (4.14) переходит в обычное тождествоk_B=k_B.

Это тождество, преобразованное вместе с другими термодинамическими параметрами в предельно разностную дискретную форму, позволяет получить в рамках НВТ иные тождества, проясняющие физический смысл энтропии.

Так для энтропии макроячейки было найдено [7,c.26]

S_m =k_B T/T _S =k_B ( mc_h²/m v²), (4.17)

где c_h= (S_mT/m)^1/2 – скорость тепловых фононов;v=(kT/m)^1/2 – когерентная (коллективная) составляющая скорости частиц макроячейки;m– масса макроячейки;T_S– квантовый разброс температуры при постоянной энтропии.Z=T/T_S =mc_h²/mv²

Как следует из приведенных соотношений квантовый разброс температуры T_S, а также скорость тепловых фононов определяется через энтропию. Это означает, что выражение (4.4) не претендует на вычисление энтропии, а лишь подтверждает свое происхождение из исходного тождества Клаузиуса. Ценность записи (4.4) заключается в возможности очень простой трактовки физического смысла энтропии:термодинамическая энтропия макроячейки S_m пропорциональна отношению тепловой (неупорядоченной) энергии к механической (упорядоченной) энергии частиц в макроячейке.Коэффициентом пропорциональности выступает постоянная Больцманаk_B.

Теперь вновь воспользуемся свойством исходного тождества Клаузиуса и попытаемся придать ему структуру уравнения Больцмана. Чтобы выражение (4.4) обращалось в тождество с сохранением структуры соотношения Больцмана, следует ввести число возможных «микросостояний» W=2^Z,возникающих в макроячейке изZ =S_m/k_Bквантовых уровней, как число возможных сочетаний изZэлементовcдвумя их разновидностями.

Тогда формально энтропии макроячейки можно придать форму уравнения Больцмана

S_m = k_BZ= k_Blog₂ W (4.18)