39. Расчет показателей надежности восстанавливаемых объектов методом переходных интенсивностей

_{Время безотказной работы и время} восстан-я подчинены экспоненц. закону. tв<<t; t – непрерывное. Потоки отказов обладают след. свойствами: стационарный, ординарный и без последействия. Системы с этими свойствами наз-ся Марковскими. Для анализа надежности таких систем исп. диф. ур-ия первого порядка 0-работоспособное сост. 1-состояние отказа(восст-ия). Тогда

-интенсивность потока отказа=const

-интенсивность потока восстановления

Уравнения Колмагорова-Чепмена. Число этих ур-ий = числу состояний.

Для составления ур-ий К-Ч необходимо:

1. опр-ть возможное сост-е в рассматриваемой системе

2. составить граф, число вершин кот-го =числу сост-й

3. соединить вершины направленными ребрами

4. разметить ребра

0

1

λ

μ

в левой части ур-я пишется 1-я производ-я. В правой части: все исходящие извершины ребра со знаком «-«, при этом интенсивность, стоящая над ребром, умножается на вероятность тогосостояния, из кот-го ребро выходит. Все входящие ребра учит-ся со знаком «+».

При решении сист. можно найти:

1) вер-ть любого состояния P_i(t)

2)ф-цию готовности - К_г(t)= и коэф. - K_г= готовности сумма от i=1 до m

3)ф-цию простоя- К_п(t)= и коэф. - K_п= (t) сумма от i=1 до l

К_п(t) + К_г(t)=1

Методы:

1) решить сист. Диф. Урав-й

2) переход в операторную область d/dt = S

3) использование метода финальных вероятностей

t0. P_i(t) = P_i.

dP_i(t)/dt = 0

0 = -λP₀ +μP₁

0 = + λP_t - μP₁

P₀ +P₁ =1

Kг = P₀ = μ/ μ +λ

Kп = P₁ = λ/ μ +λ

40. Виды стратегии восстановления. Примеры

Каждый элемент после отказа восстанавливается. 2 модели:

1)после отказа любого элемента сист. отказывает, элемент ставится на восстановление, остальные не работают (откл.)

2)после отказа любого элемента сист. отказывает, отказавший элемент ставится на восстановление, все ост. элементы продолжают работать и могут отказать. В итоге, когда включается отказавший элемент, система может не заработать. Для 2-ой модели есть 3 модификации:

а) неограниченное восстановление. m=n. n-кол-во элементов в схеме. m-эл-ты, котор. могут быть поставлены на восстан-е

б) частично ограниченное восстановление, m<n

в) полностью ограниченное восстановление. Т.е. на восстановл. может находиться только 1 элемент.

Граф для первой модели восстановления

всего состояний n+1.

С оставляем ур-ие К-Ч. Решаем ее с помощью метода финальных вероятностей

Предположим что вероятности от времени не зависят, производные обращаются в 0.

41. Постоянное общее резервирование с мгновенным замещением отказавшего элемента. "Схема гибели"

Граф – «Схема гибели» с измененными интенсивностями перехода. Все элементы равнонадежны, элементы не восстанавливаются. Кол-во сост.=n+1

dP₀(t)/dt= -λ₀P₀(t)

dP₁(t)/dt = λ₀P₀(t) – λ₁P₁(t)

dP_n(t)/dt = - λP_n-1(t)

P ₀(t) +…+P_n(t) =1

K_п(t) = P_n(t) =Q(t)

Данную систему нельзя разрешить методом фин. вероятн. Система решается с использованием оператора Лапласа

Решение дают результат

В первом не писать P(t)

P(t) = Kг(t) = 1-(1-e-λt)n

_{При резервировании с дроб.кратностью, когда r≥2, увеличивается кол-во работоспособных состояний в графе.}