34. Постоянное общее резервирование с дробной кратностью. Пример.

r-число обязательно функционирующих элем-ов. r>или=2; n-r – число резервных элем-ов; _{-всегда дробь, r≥2}

; i-число элементов отказ. в сист.

_{вместо n-r должно быть n-i};

_; = 1-(1-q)r/Qp(t)

П ример: устройство имеет Р=Рt и резервируется 2мя такими же устройствами. Вся схема работоспособна если откажет 1 элемент.

;

35. Мажоритарное резервирование. Пример.

n	3	5	7
r	2	3	4

n – нечетно всегда, выходные сигналы с этих элементов подаются на МЭ. Он сравнивает и выдает сигнал большинства элементов в схеме. 2 из 3, n=3, необходимо чтобы 2 были работоспособны. Слабое место мэ, поэтому на 2 – 3 порядка. Как пост общ рез с дроб крат.

Выигрыш:

не Р_р, а Р_мр. Выигрыш по Т незначительный, используется в системах, где нужно обеспечить выс Р на незначит время эксплуатации.

П ример: Опр. вероят. безотказной работы мажоритарной резервной схемы в течении 1000ч.

n=3; t=1000ч.; =10^-4 1/час;

_мэ=3*10^-6 1/час.

= *

* .= Рмэ.(р³+3p²q)=0,997(0,904³+3*0,904²*0,096)=0,9712

B_Q = Q_н/Q_p = 1-р/1-P_AB = 0,096/0,0298=3,3

3 6.Постоянное поэлементное резервирование с целой кратностью

r=1; n=k+1; Pi(t)+qi(t)=1

каждому элементу вводится резервный

_{Qпр = 1 – (1 – q k+1)m}

_{BQ = Qор/Qпр}

_{Qор = (1 – (1-q)m)k+1}

_{Предполагаем , что вероятность отказа каждого элемента мала. Тогда запись (1-q)m≈1 – mq , q<<1.}

_{Qор≈ (1-1+mq)k+1 ≈ mk+1*qk+1}

_{Qпр ≈ 1-1+mqk+1= mqk+1}

_{BQ = mk+1*qk+1 / mqk+1 = mk , m – глубина резервирования}

37. Резервирование замещением. Виды режимов работы резер. Эл-ов. Методы расчета показателей надежности

r=1; k; n=k+1 все элементы равнонадежны расчет проводится по всем режимам

Расчет ведется по формулам пост. общего резервир.

Резервирование с замещением:

а) общая с замещением б) постоянная с замещением в) скользящее

По виду режима работы резервного элемента:

1) нагруженный «горячий» режим:

;

2) облегченный или «теплый»

_{сверху λобл., снизу λ нагр};

3) ненагруженный или «холодный»

38. Расчет показателей надежности восстанавливаемых объектов методом переходных вероятностей.

Время функционирования системы дискретное. Потоки отказов обладают св-ми: стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Система, которая обладает всеми перечисленными св-ми наз-ся марковской системой с дискретным временем. Такие системы имеют конечное число состояний, направление переходов постоянное, состояние системы в текущий момент времени зависит только от предыдущего состояния. Надежность таких систем описывается системой алгебраических урав-й, число которых = числу состояний системы.1) работоспособное 2) состояние ложного срабатывания (неработоспособное) 3) сост-е несрабатывания

Р11 – система остается в 1-м состоянии

Р12 – система перейдет во 2-е сост-е

Р13 – система перейдет в 3-е сост-е

С вер-ю Р33 система останется в сост-и 3

С вер-ю Р13 вернется в 1-е сост-е

Составим систему алгебраических урав-й (урав-й столько, сколько вершин)

P₁(i) = p₁₁P₁(i-1) + p₂₁P₂(i-1) + p₃₁P₃(i-1)

P₂(i) = p₁₂P₁(i-1) + p₂₂P₂(i-1)

P₃(i) = p₁₃P₁(i-1) +p₃₃P₃(i-1)

P ₁(i) +P₂(i) +P₃(i) =1

Для решения системы необходимо задать распределение вер-й в нач. момент времени t=0.

p₁(0)=1 p₂(0)=0 p₃(0)=0

Вероятность нахождения системы в j-м состоянии на i-м шаге

P_j(i) = M(0)MⁱD_j

M(0) – марица-строка начального состояния

M(0) = Р₁(0) Р₂(0) Р₃(0)

М – квадратная матрица переходов. D_j- матрица-столбец искомого сост-я

p ₁₁ p₁₂ p₁₃ 0

М = p₂₁ p₂₂ 0 D_j = 1

p₃₁ 0 p₃₃ 0

Для упрощения расчетов предположим , что вероятность перехода из 1-го состояния в 3-е мала => p₁₃ = 0. В начальный момент времени система нах-ся в работоспособ. Состо-ии. Нас интересует вер-ть нахождения во 2-м сост-ии после двух шагов Р₂(2) .

Р₂(2) = М(0)М²D₂= 1 0 * p₁₁ p_{12 *} 0 =

p₂₁ p₂₂ 1

= p₁₁ p_{12 +} p₁₂ p₂₂

_{Метод усложняется если рассматривается большое} кол-во шагов во времени, но он распр-ся на любые законы распределения. Система алгебраич. Урав-й м.б. упрощена, если предположить, что время раб. Системы ∞, n∆t∞. В этом случае распределение вер-ти между сост.не зависит от начального сост-я , а сами вер-ти не зависят от времени. Отсутствует аргумент время => система записывается:

P₁= p₁₁P₁+ p₂₁P₂+ p₃₁P₃

P₂= p₁₂P₁+ p₂₂P₂

P₃= p₁₃P₁+p₃₃P₃

P ₁+P₂+P₃=1

- эти вер-ти наз-ся финальными или предельными вер-ми.

Если система характериз-ся небольшим числом сост-й, то для расчета оценки вер-й сост-й м.б. использовано дерево изменения сост-й.

P₂ (2)= p₁₁р₁₂+ p₁₂р₂₂