4.4 Метод Гаусса-Зейделя

В формуле итерационного процесса метода простых итераций (4.6) к моменту вычисления x_i^(k) уже вычислены значения x₁^(k),x₂^(k),...,x_i-1^(k).

Очевидно, что эти значения в большинстве случаев ближе к решению и их можно использовать для вычисления x_i^(k). Исходя из этого, Гаусс и Зейдель предложили видоизмененную формулу итерационного процесса

(4.11)

Условие завершения итерационного процесса (4.7) и условия сходимости (4.10) справедливы и для данного метода. Поэтому схема алгоритма Гаусса-Зейделя отлична только формулой расчета нового приближения:

Метод этот, как правило, позволяет достичь требуемой точности ε за меньшее число итераций, т.е. имеет лучшую сходимость.

Достоинства итерационных методов:

1. Погрешность округления не накапливается от итерации к итерации.

2. Число итераций при n>100 обычно меньше n , поэтому общее число действий меньше n³, т.е. меньше, чем в методе исключений Гаусса.

3. Не требуется больший объем памяти.

4. Итерационные методы особенно выгодны для систем с большим количеством нулевых коэффициентов (систем с разряженной итерацией). Методы исключения наоборот: чем больше нулей, тем чаще требуется выбирать новую рабочую строку.

Недостаток - не всегда можно обеспечить сходность итерационного процесса. С увеличением размерности системы труднее выполнить линейные преобразования для обеспечения сходимости.

Рис. 4.7. Схема алгоритма метода простых итераций

Тема 5

Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).

При моделировании задача нахождения решения системы алгебраических или трансцендентных уравнений является распространенной вычислительной задачей. Например, к решению таких систем сводятся расчеты фазового и химического равновесия многокомпонентных смесей, расчеты статических режимов многих технологических процессов и др.

Запишем систему n нелинейных уравнений с n неизвестными (СНУ) в общем виде:

f₁(x₁, x₂, …, x_n) = 0

f₂(x₁, x₂, …, x_n) = 0 (5.1)

…

f_n(x₁, x₂, …, x_n) = 0

Эту систему можно записать в компактной, операторной форме:

F(X) = 0 (5.2)

где

вектор-функция

вектор неизвестных

Решением системы называется набор значений , (вектор X^*), при которых все функции f_i равны 0 (система (5.1) обращается в тождество.)

СНУ могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение СНУ проводят в два этапа:

1 этап – отделение решений.

2 этап – уточнение всех или только нужных решений.

5.1. Отделение решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f ₁(x₁, x₂) = 0

f₂(x₁, x₂) = 0

Для этого необходимо в координатах (x₁, x₂) построить кривые

f₁(x₁,х₂) = 0, f₂(x₁,х₂) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы. Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

Имеется два решения.

D₁ – область существования первого решения.

D₁ = {a₁ < x ₁< b₁ , a₂ < x ₂< b₂}.

Рис. 5.1. Графическое отделение решений СНУ.

Для систем с большим числом неизвестных (n  3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.