Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра вычислительной техники и инженерной кибернетики

АЛГОРИТМЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

КУРС ЛЕКЦИЙ

Автор: доцент кафедры ВТИК УГНТУ Мухамадеев И.Г.

Текст подготовил: ст. гр. ТЭ-03 Валишин А.Р.

УФА 2007

Литература по вычислительной математике

Основная литература:

1. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высшая школа, 1990.

2. Демидович Б.П., Марон Н.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. – 660 с.

3. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. - М.: Радио и связь, 1999. - 408 с.

4. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М.: Финансы и статистика, 1999.

5. Потёмкин В.Г. Система MATLAB. Спр. пособие. – М.: Диалог - МИФИ. 1998 – 350 с.

6. Умергалин Т.Г. Основы вычислительной математики: Учебное Пособие. - Уфа, Изд-во УГНТУ, 2003. – 106 с.

7. Джонсон К. Численные методы в химии. – М.: Мир,1983. – 504 с.

8. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. - М:. Высш. Шк., 1990.

9. Очков В.Ф. MathCAD 7.0 Pro для студентов и инженеров. М:. Компьютер-Пресс, 1998. = 384 с.

10. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы EUREKA.-М.: Физматлит, 1993.-96 с.

Учебные пособия:

1. Мухамадеев И.Г. Решение систем нелинейных уравнений. /Мет. указания/. – УНИ, Уфа. – 1988 г. ( 7 / 11 )

2. Кирлан Л.Д. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и их систем на мини- и микро-ЭВМ. /Мет. указания/. – УНИ, Уфа. -1987 г.

3. Калиновский Ю.В., Мухамадеев И.Г. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. /Мет. указания/. – УНИ, Уфа – 1987 г. ( 7 / 6 ).

4. Калиновский Ю. Кайбышева Д.А. Мухамадеев И.Г. Численное интегрирование /Мет. указания/. – УНИ, Уфа, 1988

5. Иванов В.И., Лизунов А.Н., Мухамадеев И.Г.Аппроксимация функций /Мет. указания/. - Уфа, Изд. Уфим. нефт. института, 1989.

Тема 1

Введение.

В настоящее время в науке и инженерной практике широко используется метод математического моделирования.

Математическим моделированием¹ называется изучение реального объекта на ЭВМ с помощью математической модели этого объекта.

Например:

1. Совершенствование ядерного оружия путем расчетов на супер-ЭВМ. Удалось отказаться от испытаний ядерного вооружения.

2. Компьютерные тренажеры (симуляторы), созданные на основе математических моделей, появились сначала у военных, сейчас они широко применяются в производственном и учебном процессе.

Математическая модель – это приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции, явления и т.д.).

Примеры простейших моделей:

уравнение состояния идеального газа (1.1)

F = закон всемирного тяготения (1.2)

закон сохранения энергии (1.3)

закон Кулона (1.4)

закон сохранения энергии для фотона, (1.5) где v – частота излучения.

Сложные модели описывают объект точнее (адекватнее²).

Математическое моделирование позволило исследовать на ЭВМ очень сложные процессы, такие, например, как глобальные климатические изменения в результате применения ядерного оружия (натурный эксперимент имеет катастрофические последствия).

В литературе математическое моделирование часто принято называть вычислительным экспериментом.

Основные этапы математического моделирования:

1. Разработка модели – формализация. Изучается в прикладных и фундаментальных науках.

2. Разработка метода (алгоритма) решения уравнения модели – алгоритмизация. Изучается в вычислительной математике.

3. Создание программы – программирование. Изучается в информатике.

4. Расчеты, анализ результатов – практическое использование.

Использование результатов:

Р езультат

Расчёты

П рограмма

Программирование

для совершенствования

программы

А

для совершенствования

лгоритм

Алгоритмизация

алгоритма

М

для совершенствования

ат. модель

Формализация

модели

для изучения, управления

О

проектирования

бъект

Предметом вычислительной математики являются численные методы (алгоритмы) решения математических задач, возникающих при исследовании реальных объектов методом математического моделирования.

Например, пусть нужно найти R из уравнения (1.2) или (1.4), из уравнения (1.3) или c из уравнения (1.5). Что общего в этих задачах? То, что нужно решить уравнение вида:

x ² = a (1.6)

Вычислительная математика не рассматривает решения конкретных задач (1.2÷1.5), а изучает их решение в общем, абстрактном виде (1.6).

С точки зрения обычной математики точное решение уравнения (1.6) имеет вид:

= ,

причем если a > 0 , то два вещественных решения;

если а = 0 , то тривиальное решение ;

если а < 0, то вещественных решений нет.

Но знак не решает задачу, так как не дает практического способа (алгоритма) вычисления значения х для конкретного значения а.

Вычислительная математика предлагает следующий алгоритм вычисления x*:

1. Выбрать начальное значение х, например =а. Это начальное приближение решения.

2. Вычислять новые приближения решения x_i по формуле:

x_i = (1.7)

до достижения условия:

 (1.8)

Здесь i = 1,2,.. – номер вычисления - итерации.

 – требуемая точность.

Пример. Нужно решить уравнение с точностью =0,001.

Зададимся ,

Вычислим первое приближение: ,

оценим точность | x₁ – x₀ | = .Требуемая точность не достигнута, нужно продолжить расчет.

Вычислим второе приближение: ,

оценим точность .

Вычислим третье приближение: ,

оценим точность .

Вычислим четвертое приближение: ,

оценим точность − точность достигнута.

Ответ: .

Точное значение (до 8 значащих цифр):

Рассмотренный пример демонстрирует принципы, общие для итерационных методов решения задач вычислительной математики:

1. Исходная задача (1.6) заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом по формулам (1.7), (1.8), где используются только арифметические операции + . Принято называть (1.7) формулой итерационного процесса (итерационным процессом), (1.8) - условием завершения итерационного процесса.

2. Задача (1.7) содержит новый параметр i – номер итерации. Очевидно, что число итераций влияет на точность решения. Если , то итерационный процесс является сходящимся – позволяет получить решение исходной задачи (1.6).

3. Решение, полученное итерационным методом, всегда является приближенным, так как точное решение получить невозможно – нужны бесконечные вычисления.

Важно подчеркнуть, что формула (1.7) получена из (1.6) путём тождественных преобразований:

Но не всякое тождественное преобразование позволяет получить сходящийся итерационный процесс.

Например:

a)

Выполним расчет при а=3:

; ; ;

Итерационный процесс не сходится; значения приближений колеблются.

б)

; …

Итерационный процесс расходится.

Рассмотренный пример иллюстрирует один из видов численных методов – итерационный.

Виды численных методов:

1. Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.

2. Итерационные – точное решение может быть получено теоретически в виде предела бесконечной сходящейся последовательности вычислений.

3. Вероятностные – методы случайного поиска решения (угадывания).

Все виды численных методов позволяют получить только приближенное решение задачи, то есть численное решение всегда содержит погрешность.

Тема 2

Структура погрешности численного решения задачи.

Точность решения задачи оценивается абсолютной или относительной погрешностью.

Абсолютная погрешность:

, (2.1)

где - точное решение,

x - численное решение.

Относительная погрешность:

, (2.2)

Источники погрешности численного решения задачи:

1. Погрешность математической модели.

Возникает в результате допущений, принятых при получении модели. Реальность всегда сложнее любой модели, поэтому этот источник погрешности всегда влияет на численное решение. Величина этой погрешности определяется сравнением экспериментальных данных с результатами расчетов по модели (оценивается адекватность модели объекту).

2. Погрешность исходных данных. Зависит от точности измерения параметров, используемых в модели. Любые измерения приближенны, поэтому и этот источник всегда влияет на решение.

В вычислительной математике эти два вида погрешности (погрешность математической модели и погрешность исходных данных) принято называть неустранимой погрешностью, т.к. она не зависит от метода решения задачи и всегда влияет на ее решение, и ее обязательно нужно учитывать при анализе полученного решения.

3. Погрешность метода решения задачи. Возникает в результате применения итерационного или вероятностного метода решения. Эти методы позволяют получить точное решение только в результате бесконечной последовательности действий. Поэтому для получения приближенного решения бесконечный процесс прерывают при достижении требуемой точности решения.

4. Погрешность округления. Возникает в результате проведения вычислений с конечным числом значащих цифр.

Погрешность элементарных арифметических действий изучается в теории погрешности. Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.

Есть случайные и систематические источники погрешности округления.

Случайные источники обычно компенсируют друг друга.

Например:

Знаки случайны и компенсируют друг друга при большом n.

Систематические источники вызывают накопление погрешности округления. Они являются дефектом структуры вычислений (алгоритма).

Пример 2.1

Требуется вычислить:

Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х значащих цифр, получим значение с:

0,476

0,411

1,47

26,2

8 3,

111,557  112.