Тема III. Векторная алгебра Элементы функционального анализа

Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы №2, необходимо рассмотреть и изучить вопросы, относящиеся к этой теме.

Линейное пространство, его определение:

Множество V элементов u, v, w,…произвольной природы, в котором определены операции сложения и умножения на число , подчиняющихся определенным аксиомам, называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства V называют часто векторами и обозначают: и т.д.

Аксиомы

1) - коммутативность сложения;

2) - ассоциативность сложения;

3) существование нулевого элемента – вектора , такого, что ;

4) существование противоположного вектора для каждого элемента, такого что ;

5) для любого элемента справедливо равенство ;

6) ;

7) ;

8) , - любые числа.

Пример1. Показать, что векторы , принадлежат - линейному пространству:

Решение. Проверим аксиомы:

1) ; => (5; 6) + (7; 8) = (12; 14);

(7; 8) + (5; 6) = (12; 14);

2) пусть => = ;

= ;

3) = (5 + 0; 6 + 0) = (5; 6);

4) = (5 +(-5); 6 +(-6)) = (5; 6);

5) = (3; 6);

6) ;

7) ;

8) .

Линейная независимость векторов:

Совокупность векторов для которых линейная комбинация , выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты все равны нулю.

Пример2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов:

.

Решение. Составим линейную комбинацию из заданных векторов:

.

Запишем систему:

Решим эту однородную систему, приводя матрицу системы к ступенчатому виду:

~ ;

вторая и третья строки равны, поэтому одну можно отбросить, тогда матрица системы примет вид: , ее ранг равен 2, число неизвестных - 3, следовательно, в рассматриваемой системе векторов только два линейно независимы, а система из трех векторов линейно зависима.

Базис линейного пространства есть совокупность линейно независимых векторов, а наибольшее их количество – размерность пространства.

В линейном пространстве все базисы равноправны.

Пусть в n- мерном пространстве заданы два базиса: старый и новый: .

Любой вектор можно разложить по базису е. Поэтому каждый вектор из базиса может быть представлен в виде линейной комбинации векторов в базисе : , тогда матрица ,элементы которой , являются координатами векторов по базису называется матрицей перехода от одного базиса к другому.

Пример 3. Дан вектор в базисе . Найти его координаты в базисе , если базисы связаны соотношениями:

1)

2)

3)

Решение. Составим матрицу перехода С от базиса к базису . Поставим первым столбцом матрицы коэффициенты уравнения 1); вторым столбцом – коэффициенты уравнения 2); третий столбец – 3) уравнение.

.

Найдем обратную матрицу С:

.

=> транспонируем и делим все элементы на , получим

.

Находим координаты вектора в базисе :

,

.

Линейный оператор. А в линейном пространстве V – правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие вектор . Линейный оператор А переводит вектор в вектор с помощью матрицы того же порядка, что и линейное пространство V.

Пример4. Линейный оператор А в базисе имеет матрицу .

Найти матрицу этого оператора в базисе , если базисы связаны соотношениями

Решение. Составим матрицу перехода С от базиса к базису ; см. пример 3.

Найдем обратную .

Найдем

Найдем - матрицу оператора А в базисе .

- ответ.

Собственные векторы и собственные значения матрицы линейного оператора.

Нулевой вектор в линейном пространстве Х, удовлетворяющий соотношению , где , называется собственным вектором оператора А. Число , для которого выполняется соотношение , называется собственным значением оператора А, или матрицы оператора.

Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в базисе матрицу .

Решение. Составим характеристический многочлен для матрицы линейного оператора А, где Е – единичная матрица, - собственное число.

.

Получим характеристическое уравнение: , корни его .

Составляем систему уравнений для определения собственных векторов, соответствующих значениям :

или или , ранг матрицы системы равен 2, находим значения переменных: . Откуда фундаментальная система решений для собственного значения , состоит из вектора

- взяли равным 4.

Берем и составляем однородную систему:

Ранг системы равен 2, следовательно

х₁ = 0

х₂ = 2х₁ = 0

х₃ = свободное неизвестное, возьмем х₃ = 1 =>, получим - собственный вектор, соответствующий .

Возьмем , получим систему

=> возьмем .

Итак, - третий собственный вектор.

Пример 6. Линейный оператор А, действующий в , переводит векторы в векторы , соответственно. Найти матрицу линейного оператора А, если

.

Решение. Согласно определению матрицы линейного оператора, связывающей координаты вектора – прообраза с координатами образа, имеем равенство или в координатной форме:

=>

Евклидовым пространством называется пространство векторов, в котором введено скалярное произведение векторов на себя – скалярный квадрат.

Скалярное произведение двух векторов - скалярная функция двух векторных аргументов, подчиняющаяся определенным законам:

1) 2) ;

3) ;

4) для любого ;

, тогда и только тогда, когда .

Пример 7. Даны векторы образующие ортонормированный базис. Найти угол между векторами. ; , длины векторов и .

Решение. Скалярное произведение векторов.

.

; ;

.

Угол между векторами определяется:

;

Норма, дина вектора , норма, дина вектора .