Тема II Матрицы. Элементы матричного исчисления

Литература:

1. Кремер И.Ш. Высшая математика, М., 2004. Практикум по высшей математике для экономистов, М., 2002.

2. Ильин В.А., Поздняк Э.К. Линейная алгебра 2-е изд., М., «Наука», 1978.

Матрица типа называется совокупность действительных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, где m – число строк, n – число столбцов.

Например, матрица размером .

Стандартная запись матрицы.

или сокращенная

- элементы матрицы;

- номер строки, - номер столбца.

Матрица квадратная, если , число строк равно числу столбцов, порядок ее равен .

Совокупность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.

Единичная матрица – квадратная, элементы главной диагонали равны единице, остальные элементы равны нулю.

Пример: - порядка 3.

Играет роль единица в матричном исчислении. Нулевая матрица – любого размера, её все элементы равны нулю.

Равные матрицы А и В, если соответствующие элементы этих матриц равны.

Линейные операции над матрицами:

1.

2. Произведение матрицы А на число k – это новая матрица , которая имеет тот же порядок, а элементы .

Пример:

Транспонирование матрицы - .

Замена строк соответствующими столбцами.

Пример. .

Умножение матриц.

Пусть матрица А размером , чтобы умножить матрицу А на матрицу В размером , (число столбцов А равно числу строк В), нужно получить матрицу ; С- размером . Для умножения , выделим i-ю строку матрицы А и j-й столбец матрицы .

Длина выделенной строки и высот выделенного столбца должны быть одинаковыми. Перемножим попарно элементы выделенных векторов и сложим:

.

Эту операцию необходимо проделать с каждой строкой матрицы А и с каждым столбцом матрицы В.

Пример. ,

.

Примеры:

1) ; Найти .

Решение. - транспонированная матрица

.

2) Найти , или .

Решение:

(2х2) (2х3) (2х3)

3) Вычислить значение многочлена от матрицы .

Решение. Вместо х подставляем в функцию матрицу А, вместо числа 3 используем матрицу 3Е, где Е – единичная матрица 2-го порядка, что и А.

;

.

Обратная матрица. Построение обратной матрицы.

Обратная матрица к матрице А обозначается и обладает свойством:

.

Любая квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, имеет обратную, притом единственную.

Чтобы получить обратную матрицу, нужно:

1. Найти определитель матрицы А, т.е. ;

2. Транспонировать матрицу А=>А^Т;

3. Найти алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы А^Т и из этих алгебраических элементов составить матрицу, присоединенную А^*.

4. Получить обратную .

Пример. Найти матрицу обратную к матрице А.

.

Решение. 1) Вычисляем определитель

2) Транспонируем матрицу А: .

3) Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную :

/

4) Находим обратную

.

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы:

Определители квадратных матриц. Важной характеристикой матрицы А порядка , т.е. квадратной, является ее определитель - . Число n – порядок определителя.

Матрица ставится в соответствие.

Определитель - число, которое получаем по правилу

- определитель 2-го порядка.

Определитель третьего порядка – число, полученное по правилу:

Разложение определителя n-го порядка по элементам i строки (или j столбца) определителя:

; или

Где - алгебраическое дополнение к элементу - минор , взятой со знаком , - определитель, полученный вычеркиванием i –ной строки, j –го столбца из данного определителя.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка для матрицы А: .

Решение. Определитель вычислим, используя его разложение по элементам: а) первой строки; б) второго столбца. Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле:

;

; ; .

Теперь: .

б) Находим алгебраические дополнения второго столбца:

; ; .

.

Если матрицу с помощью линейных преобразований привести к ступенчатому виду, то ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка: .

Решение. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу А к ступенчатому (или треугольному) виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы элемент . В данном случае поменяем местами 1-ый и 3-ий столбцы, при этом меняется знак определителя матрицы А:

.

Умножая элементы 1-ой строки на числа ; , т.е. в данном случае на числа 1, (-2), (-1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца ( кроме , равнялись нулю:

Переставим строки 2-ю и 3-ю, при этом знак определителя изменится на обратный:

Полученный определитель имеет ступенчатый вид, его величина равна .

Итак, .

Вычисление ранга матрицы А.

Ранг матрицы А равен числу элементов, отличных от нуля, стоящих на главной диагонали матрицы А, приведенной к ступенчатому (треугольному) виду с помощью линейных преобразований.

Прежде чем решать задачу 3 контрольной работы №1, необходимо изучить вопрос о линейных преобразованиях матрицы; определение ранга матрицы; о линейной независимости строк (столбцов) матрицы.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы. Ранги эквивалентных матриц равны.

Пример. Найти ранг матрицы А и определить максимальное число линейно независимых строк (столбцов):

.

Решение. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранга матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

х(-1)

переставляем строки ~

~

х(-1)

~ отбрасываем строку из нулей

~ переставим столбцы 3-й и 4-й, ~

~ получим ступенчатую матрицу, из которой существует

минор 3-его порядка, отличный от нуля,

=> следовательно ранг матрицы равен 3, т.е. ,

(3 элемента на главной диагонали отличны от нуля).

Итак, матрица А имеет три линейно независимых строк (столбцов).