Задания для самостоятельной работы к Разделу 2

1. Найдите высказывания, имеющие одинаковую логическую форму, и выразите их на языке логики высказываний.

1. Журналист вечером то ли подготовил телерепортаж, то ли написал статью.

2. «Флюгер был приколочен намертво, и ветер обречено дул в указанном направлении» (В.Шендерович).

3. Если бы ты слушал меня, то не переспрашивал.

4. Сегодня очень холодно, к тому же дует ледяной ветер.

5. Лишь тогда, когда будете готовиться, вы не провалите экзамен.

6. Финальный матч по футболу пройдёт или на стадионе в Минске, или за городом.

7. Ученик не волнуется, когда знает ответа.

8. Когда я целый день готовлюсь к занятию по математике, то не успеваю подготовиться к занятию по литературе.

9. Утверждение, что ребёнок был воспитанным, однако непослушным, - ложно.

10. Строительство канала не задержится исключительно при условии доставки товара в срок.

11. Неверно, что он каждый день выходит из дому и не возвращается.

2. Составьте схемы (логические формы) следующих высказываний.

1. Умный политик знает, как выиграть войну, а мудрый – как её не допустить (Ильин).

2. Неверно, что он храбр и силен.

3. Либо Земля вращается вокруг Солнца, либо Солнце вращается вокруг Земли.

4. Беда, коль пироги начнет печь сапожник.

5. Если у берега много медуз, то был шторм или вода в море остыла.

6. Нельзя сказать, что чтение этого романа приятно или полезно.

7. «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Ж. Руссо).

8. Он раздражителен и когда болен, и когда здоров.

9. В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов.

10. Успешная сдача экзамена зависит от качества самостоятельной подготовки, работы учащегося на занятиях или настроения учителя.

3. Каков логический смысл грамматического союза «и» в следующих предложениях:

1. Фотоны обладают энергией, количеством движения и электромагнитной массой.

2. Если данный процесс – тепловое излучение, то он не зависит от свойств и состояния окружающих тел.

3. Атеросклероз чаще всего поражает жителей боль­ших городов и людей умственного труда.

4. «Растворите цафру в царской водке, разведите в четырехкратном по весу количестве воды, и вы получите зеленые чернила» (Э. По. Золотой жук).

5. Совершенствование автомобильных двигателей осуществляется в направлении увеличения мощности, улучшения экономичности, уменьшения габаритных размеров, снижения массы и повышения надежности и срока службы.

4. Дано высказывание р, и оно истинно. Можно ли установить логическое значение q в следующих случаях? Если «да», то каково оно?

1. p Ù q истинно;

2. p Ú q истинно;

3. p Ú q ложно;

4. p ® q ложно;

5. p « q истинно.

5. Покажите, что из определения импликации вытекает истинность следующих утверждений. Укажите строки табличного определения, доказывающие эту истинность.

1. Ложь не следует из истины;

2. Из ложного следует все, что угодно;

3. Из истинного следует только истинное;

4. Ложное следует только из ложного;

5. Истинное следует из чего угодно.

6. Если р ® q истинно, Øq Ú r истинно, а r ложно, то каким будет логическое значение р?

7. Пусть p и q соответственно означают “У меня есть собака” и “У меня есть кошка”. Переведите на разговорный язык и упростите следующеё выражение, используя отношения равнозначности (полной совместимости):

Ø(Øp Ù ØØq) Ù ØØp.

8. Установлено, что высказывание формы А Ú B является истинным. Что можно сказать о логических (семантических) значениях высказываний форм:

а) А Ù B; б) ØА Ù ØB; в) ØА Ú ØB?

9. Являются ли равнозначными следующие высказывания (попарно):

1. Каждый учащийся нашего класса способен или трудолюбив; неверно, что каждый учащийся нашего класса не способен и не трудолюбив.

2. Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью и Марья любит Ивана.

3. Если боишься - не делай; если делаешь - не бойся.

4. Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на два; если число четное, то оно делится на два, а если число нечетное, то оно не делится на два.

10. Пользуясь положениями о равнозначности из перечня (1) – (21), упростите следующие высказывания:

1. “Тот, кто понимает Толстого, не следует за ним. А тот, кто следует за ним, не понимает его” (В.С.Маклаков, член 2-й Государственной думы).

2. Система находится в состоянии устойчивого равнове­сия, если после незначительного возмущения она стремится вернуться в исходное состояние. Система неустойчива, если незначительное возмущение влечет за собою всевозрастающеё удаление системы от её исходного состояния.

3. «Поскольку математические предложения относятся к действительности, они не являются бесспорными, а поскольку они являются бесспорными, они не относятся к действительности» (А.Эйнштейн).

11. Используя отношения равнозначности (1) – (21), решите следующую задачу. Рабочий должен следить за деталями, движущимися мимо него по конвейеру, он должен снимать с ленты конвейера некоторые детали и пропускать остальные. Бригадир сказал ему, чтобы он снимал детали, которые удовлетворяют одновременно ряду условий, а именно, они

1. искривлены, заржавлены или не окрашены;

2. нестандартны, заржавлены или и то и другое месте;

3. искривлены, не заржавлены или и то и другое вместе;

4. нестандартны, не заржавлены или и то и другое вместе;

5. обладают хотя бы одной из следующих характеристик: искривлены, заржавлены или окрашены.

Предложенную в столь неудобной форме инструкцию рабочий упростил до двух характеристик объектов. Какие это характеристики?

12. Установлено, что высказывание формы AÚB является истинным. Что можно сказать о логических значениях высказываний форм:

1. A Ù B;

2. ØA Ù ØB;

3. ØA Ú ØB?

В каком отношении находится каждая из них к форме A Ú B?

13. Рассуждая «от противного» при доказательстве теоремы «Если в многоугольник не вписывается окружность, то он неправильный», студенты формулируют допущения:

1. Если в многоугольник вписывается окружность, то он правильный.

2. Если многоугольник правильный, то в него вписывается окружность.

3. В многоугольник не вписывается окружность, и он правильный.

4. Многоугольник вписывается в окружность, и он правильный.

Какой из подходов является верным? Укажите причины ошибок.

14. Джон, Браун и Смит обвиняются в подделке документов о подлежащих налоговому обложению доходах. Они дают такие показания:

1. Браун: Джон виноват, а Смит невиновен.

2. Джон: Если Браун виновен, то виновен Смит.

3. Смит: Я не виновен, хотя бы один из них виновен.

Построив таблицы истинности полученных высказываний, ответьте на следующие вопросы:

а) Совместимы ли показания всех трех подозреваемых?

б) Показания одного из подозреваемых следуют из показаний другого. О чьих показаниях идет речь?

в) Если все трое невиновны, то кто совершил лжесвидетельство?

г) Предполагая, что показания всех подозреваемых верны, укажите, кто невиновен, а кто виновен?

д) Если невиновный говорит правду, а виновный лжет, то кто невиновен, а кто виновен?

15. Дж. Оруэлл сказал: «Кто управляет прошлым, тот управляет будущим. Кто управляет настоящим, тот управляет прошлым». Какие из следующих высказываний не следуют из высказывания Оруэлла?

1. Кто не управляет настоящим, то не управляет будущим.

2. Кто не управляет будущим, тот не управляет настоящим.

3. Кто не управляет прошлым, то не управляет настоящим.

4. Кто не управляет прошлым, то не управляет будущим.

16. Логически отредактируйте дискуссию, установив отношения между высказываниями, выявив единомышленников и оппонентов, устранив высказывания, не несущие новой информации (предполагается, что каждый из участников дискуссии высказывает по одному суждению):

1. Наказание, за преступление должно быть неотвратимым, но не жестоким.

2. Если наказание должно быть неотвратимым, то оно не должно быть жестоким.

3. Неверно, что, если наказание не должно быть жестоким, то оно должно быть неотвратимым.

4. Первый выступающий не прав. (Я не согласен с высказыванием 1).

5. Либо наказание не должно быть жестоким, либо оно не должно быть неотвратимым.

6. Наказание должно быть неотвратимым только в том случае, если оно не должно быть жестоким.

7. Неверно, что наказание должно быть неотвратимым и жестоким.

Запишите логические формы всех высказываний и постройте для них общую таблицу истинности. Устраните, если есть, повторы (эквивалентные высказывания). Выявите противоположные (если такие есть) точки зрения — это основные оппоненты, затем выявите сторонников каждой из них (совместимые с ними высказывания). Если эти последние не добавляют никакой информации к высказываниям основных оппонентов (подчинены им), то их можно исключить. Подумайте, какие отношения будут между высказываниями каждой из сторон, если противоположных точек зрения у участников дискуссии нет, а есть только противоречащие.

17. Требование какого логического закона нарушается действующими лицами в следующих эпизодах?

«– По правде сказать вам, entre nous (между нами. – франц.), левый фланг наш бог знает в каком положении, – сказал Борис, доверчиво понижая голос, – граф Бенигсен не то предполагал. Он предполагал укрепить вон тот курган, совсем не так... но, – Борис пожал плечами. – Светлейший не захотел, или ему наговорили. Ведь... – И Борис не договорил, потому что в это время к Пьеру подошел Кайсаров, адъютант Кутузова. – А! Паисий Сергеёвич, – сказал Борис, с свободной улыбкой обращаясь к Кайсарову. – А я вот стараюсь объяснить графу позицию. Удивительно, как мог светлейший так верно угадать замыслы французов!

– Вы про левый фланг? – сказал Кайсаров.

– Да, да, именно. Левый фланг наш теперь очень, очень силен» (Л.Н. Толстой. Война и мир).

18. Как объяснить, что загадка «Хожу на голове, хотя и на ногах, хожу я без сапог, хотя и в сапогах» имеет решение-отгадку (гвоздь в подошве сапога)? Не нарушено ли здесь требование, вытекающеё из закона противоречия?

19. Иван и Петр иногда лгут. Однажды Иван говорит Петру: «Когда я не лгу, ты тоже не лжешь». Петр отвечает: «А когда я лгу, ты тоже лжешь». Нарушено ли требование хотя бы одного из простейших логических законов – тождества, противоречия, исключенного третьего – в этом диалоге?

20. «Помолчав, он (Тетаити. – В.Б.) продолжал:

– Для меня все ясно: эти четверо взяли ружья, значит, они наши враги.

– Я не взял ружья, – возразил Парсел, – и все-таки ты считаешь меня своим врагом» (Р. Мерль. Остров).

Имел ли Тетаити право на подозрение после возражения Персела? Почему?

21. Установите, кто из учащихся изучал логику, если на вопрос, кто из трех учащихся (А, В, С) изучал логику, были получены следующие ответы. 1) если А изучал, то изучал и В, но 2) неверно, что если изучал С, то изучал и В.

22. Проверьте сокращенным методом правильность следующих рассуждений:

1. Если Петров не трус, то он поступит в соответствии с собственными убеждениями. Если Петров честен, то он не трус. Если Петров не честен, то он не признает своей ошибки. Но Петров признает свою ошибку. Следовательно, он поступит согласно собственным убеждениям.

2. Отец хвалит меня только тогда, когда я сам могу быть доволен собой. Я успешно занимаюсь спортом или не могу быть собой доволен. Если я плохо учусь, то я не могу успешно заниматься спортом. Следовательно, если отец меня хвалит, то я учусь неплохо.

3. Социалисты поддержат президента лишь в том случае, если он подпишет данный указ. Либералы окажут ему поддержку лишь тогда, когда он наложит на него вето. Очевидно, что он не подпишет указ или не наложит на него вето. Следовательно, президент потеряет поддержку у социалистов или либералов.

4. Если в России пытаются проводить реформы, то начинается смутное время. Если начинается смутное время, то либо наступает гражданская война, либо иностранное нашествие, либо Россия теряет часть территорий. Если наступает гражданская война, то население испытывает ужасные бедствия. Не лучше приходится и при нашествии. Сейчас в России пытаются проводить реформы. Значит, российский народ ждут ужасные бедствия.

5. Если теория А Ньютона истинна, то должно наблюдаться следующеё: морские приливы и отливы происходят с периодом В, орбита Марса имеет форму С, траектория полета пушечного ядра приобретает форму D. Наблюдения подтверждают В,С и D. Следовательно, теория А Ньютона истинна.

23. Какие заключения следуют из высказывания «Гений и злодейство - две вещи несовместимые», а какие - нет, и почему?

1. Моцарт - гений, следовательно, Моцарт не злодей.

2. Сальери не гений, следовательно, Сальери - злодей.

3. Моцарт не злодей, следовательно, Моцарт - гений.

4. Сальери - злодей, следовательно, Сальери не гений.

24. Применяя правила выводов логики высказываний, установите, требование какого из логических законов нарушается в следующем сообщении:

Если подозреваемый совершил преступление, то он сделал это с корыстной целью. Если он сделал это с корыстной целью, то не допускал, что преступление будет раскрыто. Если подозреваемый имеет экономическое образование, то он допускал, что преступление будет раскрыто. Подозреваемый совершил преступление. Подозреваемый имеет экономическое образование.

25. Согласно легенде, калиф Омар при обосновании необходимости сожжения Александрийской библиотеки рассуждал так: «Если ваши книги совместимы с Кораном, то они излишни. Если же ваши книги не совместимы с Кораном, то они вредны. Но если ваши книги излишни или вредны, то их следует уничтожить. Следовательно, ваши книги следует уничтожить». Заключает ли в себе это рассуждение формальную или содержательную ошибку?

26. Доказывая способом “от противного” (вернеё, “от противоречащего”) теорему “Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный”, студент формулирует допущение “Если треугольник не равносторонний, то он не равнобедренный”. Верен ли его логический шаг?

27. Ст. 188 Таможенного кодекса Республики Беларусь гласит: «Личный багаж …членов Правительства Республики Беларусь освобождается от таможенного досмотра, если указанные лица пересекают таможенную границу Республики Беларусь в связи с исполнением своих… служебных обязанностей». Представим, что член Правительства, пересекая границу РБ, едет на отдых, и должностное лицо таможенного органа его не досматривает. Нарушает ли это должностное лицо законодательство.

28. Подозреваемые A, B и C дали следующие показания.

А: «B виновен, а С невиновен»;

В: «А невиновен или С виновен»;

С: «Я невиновен, но хотя бы один из A и В виновен».

Совместимы ли эти показания, т. е. могут ли они быть истинны одновременно?

29. Можно ли утверждать, что к следующему высказыванию применимо требование закона исключенного третьего:

«Судебная медицинская комиссия, которая должна была установить, может ли Швейк, имея в виду его психическое состояние, в которых он обвинялся, состояла из трех необычайно серьезных господ, причем взгляды одного совершенно расходились со взглядами двух других»

(Я. Гашек Приключения бравого солдата Швейка).

30. Являются ли следующий вывод дедуктивным?

«Если спутник Земли пролетает над Минском, то он пролетает над Беларусью. Следовательно, неверно, что спутник Земли пролетает над Минском и не полетает над Беларусью».

31. Применяя дедуктивные правила логики высказываний, выведите заключение из следующих посылок:

«Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция».

32. Одного человека судили за участие в грабеже. В ходе судебного заседания прокурор и адвокат сказали следующеё:

П р о к у р о р. Если подсудимый виновен, то у него был соучастник.

А д в о к а т. Неверно.

Ничего худшего адвокат сказать не мог. Почему?

33. Запишите следующеё высказывание на языке логики высказываний без терминов «достаточно» и «необходимо»: «Необходимое и достаточное условие счастья шейха состоит в том, чтобы иметь вино, женщин и услаждать свой слух пением».