52 Зведення кф до канонічного вигляду

Рангом КФ наз. ранг її матриці А. При зміні змінних х=Су КФ переходить у КФ від нових змінних у₁,у₂,…,у_n . Перетворення змінних х=Су назив. не виродженим, якщо матриця С є не виродженою. Канонічною виглядом КФ назив. представлення її як алгебраїчні сума квадратів

.(1)

f(y)=∑ⁿ_j=1 λ_iy_i², де λ_i≠0, к-ть ненульових доданків = рангу КФ. Теорема Для того, щоб симетр.А можна подати у вигляді А= QΛQ^T, де Q – ортогональна, Λ – діагональна, необхідно і достатньо щоб Q складал. З ортонормованих власних векторів А, а Λ мала діагональні елементи відповідні власні значення А.

Теорема Будь-яку КФ ортогоню перетворень можна звести до канонічного вигляду.

Доведення:

Нехай Q – ортогональна матриця, що складена з ортонормованих власних векторів А. Q^T = Q^-1 х= Qу, у= Q^T х. розглянемо КФ: f= х^тАх=х^т QΛQ^Tх=у^т Λу=∑ⁿ_i=1 λ_iy_i².

Теорема (закон інерції КФ)

К-ть доданків з додатніми (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді КФ не залежить від способу зведення КФ до цього вигляду.

Зауважимо, що звести квадратичну форму до канонічного вигляду можна і так званим методом Лагранжа або методом виділення повних квадратів.

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду (1), причому відмінні від нуля канонічні коефіцієнти занумеровані так, що є додатними, а - від’ємними. За допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних

Квадратичну форму можна звести до вигляду:

, (

який називається нормальним виглядом квадратичної форми.

53) Поняття множини. Рівність множин.

Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Множина задається правилом або ознакою відповідно до якого визнач. Чи належить деякий елемент множ. чи ні.

А={а}, де А скл або з множ. склад. з 1 елемента а малого. Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}

є А- елемент а належить множині А. - а не належить множині А

Елементи множини А, що мають власн. Р

А₁={а єА (а має вл. Р)}

А₁ ={а: (а є А) (а має вл. Р)}

множина В наз. підмножиною множини А ,якщо всі елементи множини В є елементами множини А.

В підмножина А

Позначимо - універсальна множина та будемо розглядати всі інші множини як підмножини універсальної.

Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.

Множина А і В наз рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи А=В (А В) (В А)

Позначення

Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}

Z₀- множина додатніх цілих чисел Z₀- {0,1,2,3…}

Z- {0, 1, 2…} – цілих чисел

Q= { } Q- раціональні

І- нескінченні неперіодичні дроби. R – дійсні. С- комплексні

Множина N ма’є такі влас. (аксіоми):

• якщо n є N ( n +1) є N

• 1 є М (деяка множина), (n є М ( n +1) є М ) N М- аксіома індукції

Метод мат індукції:нехай задано твердження А1.А2….Аn та доведені леми паскаля

Лема 1:А1 істинне,Аn-істинне.

Лема2:з істинності твердження An вопливає істинність твердження An+1.

Тоді всі твердження Ai,i=1,+∞ - істинні.