45.Лп та їх матриці. Дії над лп. Обернене лп.

О. ЛП А у векторному просторі R назив правило, за яким кожному вектору х, що є R ставиться у відповідність вектор Ах, який теж є R так, що виконується:

1)А(х+у)=Ах+Ау, якщо вектори х,у є R

2)А(αх)=αАх, якщо хє R, αє R

Тривіальне ЛП: Ах=х. Воно познач Е.

Дії над ЛП:

1)Сумою ЛП А і В назив ЛП А+В, що визнач рівністю (А+В)х=Ах+Вх

2)добутком ЛП А на число λ назив ЛП λА таке, що визначається рівністю (λА)х=λАх

3)Добутком ЛП А та ЛП В назив ЛП АВ, що визнач рівністю (АВ)х=АВх

Зауваження: АВ не дорівнюєВА

Властивості множення:

1)А(ВС)=(АВ)С 2)АЕ=ЕА=А 3)(А+В)С=АС+ВС 4)С(А+В)=СА+СВ

ЛП А^-1назив оберненим відносно ЛП А, якщо викон рівності А^-1А=АА^-1=Е

Нехай є векторний простір R_n, його базис е1,е2,…,еен, є ЛП А. Застосуємо це ЛП до базисних векторів вект прост R_n. Розкладемо їх за базисом:

Ае_j= αij ei, j=1,n

46.Матриці лінійного перетвор. Подібні матриці.

Матриця А= а11 а12…а1n

а21 а22…а2n j a d ………………….

аn1 аn2 аnn

-матриця лін перетвор А в базисі е1,е2,…en

Позначимо (х1,х2,…,хn)^т і (у1,у2,…,уn)^т – матриці-стовпці корд векторів х,у у базисі е1,е2,…,еn простору R_n

Припустимо, що у=Ах, тоді за означенням ЛП:

у=Ах=А . Звідки у_і= , i=1,n

Отже, (у1,у2,…,уn)^т=А(х1,х2,…,хn)^т – будь-якому ЛП А у вибраному базисі відповідає кв матриця А, при чому j-й ст. матр А склад з корд вектора Аej.

Теорема: Якщо у вектор прост R_n задано базис е1,е2,…,еn та невиродж матрицю А ен-го порядку, то існує єдине ЛП, матриця якого =А у базисі е1,е2,…,еn.

Матриці ЛП у різних базисах:

У просторі R_n є старий базис е1,е2,…,en і новий е1',е2',…,еn'. Запишемо ЛП у цих базисах: у=Ах; у'=А'х', де х', у' – матриці-стовп з корд векторів х,у в базисі е1',е2',…,еn'; А' – матриця ЛП у цьому базисі. Маємо: x=Qx', y=Qy' тоді y'=Q^-1y=Q^-1Ax=Q^-1AQx'. Отже,

A'=Q^-1AQ(1). А~А'-подібні матриці; перехід від А до А' назив перетвор подібності, якщо має місце формула (1), якщо Q-невиродж, Q – матриця переходу від старого до нового базису.

47.Характеристичний многочл, власні числа і власні вектори лп

Нехай в R_n є ЛП А. ненульовий вектор х є R-власний вектор ЛП А, якщо є таке число λ, що виконується:Ах=λх(1)

λ-власне значення(власне число, характеристич число) ЛП А, що відповідає власному вектору х.

Якщо ЛП А задано своєю матрицею А у базисі е1,е2,…,еn, то умову (1) можна представити: (А-λЕ)х=0(2). Якщо хне=0 то (2) має ненульові розвязки, якщо (А-λЕ)=0, тобто det(A-λE)=0 – характеристичне р-ня матриці А.

Можна записати det A=a0+a1λ+…+an-1λ^n-1+λⁿ

Спектр матриці А – множина з n власних значень матриці n-го порядку (кожне власне знач береться стільки разів, яка його кратність).

Властивості х і λ:

Слідом trA матриці А n-го порядку назив сума діагональних елем матриці trA=

І. Добуток власних значень матр=її визначнику, а сума-сліду

ІІ. Нехай і - власний вектор і відповідне до нього власне значення матриці , - деяке число. Тоді є власним вектором матриці , відповідним до власного значення .

III.Нехай і - власний вектор і відповідне до нього власне значення матриці . Тоді є власним вектором матриці , відповідним до власного значення , причому є будь-яким цілим додатним або від’ємним числом, якщо матриця невироджена, і цілим додатним числом, якщо - вироджена.

ІV. Власні вектори, відповід до різних вл знач є ЛН

V.Подібні матриці мають однакові характеристичні многочл:

det (A'-λE)=det(Q^-1AQ-λQ^-1EQ)=det(Q^-1(A-λE)Q)=detQ^-1det(A-λE)detQ=det(A-λE)

Наслідок: хар-ний многочл ЛП не залеж від вибору базису.

Матриця А n-го порядку назив матрицею простої структури, якщо вона має n ЛН векторів.

Теорема: Матриця має просту структуру, коли вона подібна до L

Доведення:

Нехай А має ЛН власні вектори х1,х2,..,хен відповідні до власних значень λ1,λ2,…,λен, тобто Ax_i=λ_ix_i i=1,n(3)

Нехай Λ=diag(λ1,λ2,…,λn) i S=(x1,x2,…,xn), тоді (3) можна записати у вигляді матричної рівності AS=SA, звідки A=SΛS^-1(4)

Отже, матриці A i Λ – подібні.

Представлення матриці у вигл (4) назив діагоналізац за доп перетвор подібності, а матр S назив діагоналізуюч.

Матриця, всі корені хар-го многочлена якої є простими має ен ЛН влас векторів і тому є матрицею простої структури.

Якщо хар многочл має вл знач кратності k(k>1), то цьому знач можуть відпов менше ніж k ЛН вл векторів. Такі матр-ДЕФЕКТНІ. Деф матр не може бути діагоналізованою.