42.Ранг матриці.

Нехай є матр. А mxn . Будемо розглядати рядки матр. як n-вимірні вектори простору Rn, а стовпці – як m-вимірні вектори простору Rm. Можна вивчати лінійну залежність і незал. рядків або стовпців матр. А.

О.Мінором і-го порядку матр. А назив. визначник і-го порядку з елем, розміщеними на перетині будь-яких і-рядків та і-стовпців матр. А.

Рангом матр. А наз. максим порядок відмінних від нуля мінорів матриці і позн. r(A) або rang(A); r(θ) = 0; 0≤r(A)≤min{m,n}

Будь-який мінор, що≠0 порядку r(A) назив. базисним мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщ., назив. базисними.

Теорема:Базисні стовпці(рядки) матриці лін незал та б-який стов (ряд) є лін. комбінацією базисних стовпців(рядків).

Висновок1:вимірність підпростору, породженого деякою сист. векторів = рангу матриці, складеної з коорд. цих векторів відносно деякого базису.

Висн.2: Максим. к-сть лін. незалежних стовпців(рядків) матриці = рангу матриці

Теорема: Для того, щоб визначник матр. А порядку n=0, необх. і достатньо, щоб його стовпці(рядки) були ліню залежними.

Для знах. рангу матриці зручно звести її елементарн. перетвор. з рядками до так званої ступінчастої матриці. Ця матриця має таку будову: 1)ненульові рядки розм. вище нульових,2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елем. в своєму рядку(рахуючи зліва направо)=1, 3)кожний провідн. елемент розміщ. праворуч від провідного елем. попереднього рядка.

G-ступінчаста матриця. G=LA, L-добуток елементарних матриць. r(G)= r(LA)= r(A)

Теорема: Для mxn матр. А рангу r існують такі невироджені матриці L і M порядків m і nвідповідно, що LAM=

Теорема: Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу кожного з множників r(АВ)≤r(A); r(АВ)≤r(В). Д-ня: розглянемо блокову матрицю (АВ А) : r(АВ)≤r(AВ А)≤r(А), де АВ-лін. комбінація стовпців матр. А.

Наслідок: множення матриці на невиродж. матр. не змінює її ранг. Д-ня:

r(А)=r(AВВ^-1)≤r(АВ)≤r(A) => r(А)=r(AВ), В-невиродж.

43.Підпр, утвор ровязк однор слр

Розглянемо СЛР відносно невідомих х1,х2,…,хен:

а11х1+а12х2+…+а1енхен=b1

… (1)

аем1х1+аем2х2+…+аmnхn=bm

Позначимо через А=(aij) i=1,m j=1,n матрицю с-ми(матр коеф при невідом) х=(х1,х2,…,хен)^т – вектор невідомих, b=(b1,b2,…,bm)^т - вектор вільних членів.

Тоді (1) набуває вигл Ax=b.

Введемо розширену матрицю с-ми A_b=(A b), яка отрим з матриці с-ми приєднанням до неї стовпця вільних членів.

Упорядкована суку знач невідом х1,х2,…,хn, яка задовольн кожне з р-нь назив розв’язком с-ми.

Тривіальний розв с-ми: Ах=0.

Теорема: Якщо А є m х n-матрицею рангу r, то множ всіх розв с-ми Ах=0 утворює n-r –вимір підпр прост R_n

Очевидно, що коли х' і х'' є розв-ми с-ми Ах=0, то αх'+βх'' теж є розв цієї с-ми, тобто множ розв утвор підпростір простору R_n. Базис цього підпр назив фундаментальною с-мою розв’язків.

Розвязки Ах=0 мають вигляд:

х=(у)=(-A11^-1A12z)=Bz; B=(-A11^-1A12)

(z) ( z ) ( E_n-r )

44 Неоднор системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

Розглянемо неоднорідну СЛР Ах=b, b≠0.

Теорема Кронекера-Капеллі

Для того, щоб НСЛР була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи= рангу розширеної матриці системи. Тобто r(A)=r(A_b), де A_b-розширена матриця системи. Доведення

r(A)=r(A_b) <=> b – лінійна комбінація стовбців А, тобто коефіцієнт цієї лінійної комбінації і є розв. с-ми .

Теорема (про структуру заг. розв. НСЛР)

Загальний розв’язок НСЛР=сумі загального розв’язку ОСЛР та окремого розв’язку НСЛР.

Доведення

Х – загальний розв’язок ОСЛР, f₀ - розв’язок НСЛР. (х+ f₀) – загальний розв’язок НСЛР. А(х+ f₀)=Ах+А f₀=0+b= b. х+ f₀ - розв’язок НСЛР, що і треба було довести

Теорема: Всі розв неон с-ми Ax=b утвор в аф просторі S_n площину вимірності n-r

Р-ня цієї площини x=f₀+ , де f₀ – окремий розв НСЛР f1,f2,…,fn-r- фундамент с-ма розв.

Теорема: В аф просторі S_n і в будь-яких аф корд усяка ем-вимірна площ може бути задана с-мою Ах=b з матрицею А рангу n-m

Наслідок: Гіперплощина визнач одним лін р-ням

a11x1+a12x2+a1nxn=b1

Кожне з р-нь с-ми Ах=b з матрицею рангу n-m розглядається як р-ня гіперплощини і кожну ем-вимірну площину розгляд як перетин n-m

Якщо система несумісна,то це означає ,що не існує жодної точки,що належить всім гіперплощинам,які задаються рівняннями системи.