24.. Элементы инвариационного вычисления и применение их для расчета оптимального управления.

Под оптимальной системой автоматического управления понимается система, которая в определенном смысле обладает наилучшими свойствами.

Существует 2 взгляда на теорию оптим-го упр-ния. В соотв-и с этим в 1м случае под упр-ем понимается эл-нт функц-го пр-ва, по которому ищется экстремум выбранного функционала кач-ва, и осн-м вопросом теории считается анализ реш-я экстремальной задачи (сущ-ние, единств-сть, непрер-ая зав-сть реш-й, необход-е и достат-е условия оптим-сти и т.п.). Во 2м случае упр-ние – это создание в каждый текущий м-нт времени целенапр-ных возд-вий на объект упр-ния в зав-сти от доступной к этому м-нту инф-ции о поведении объекта и действ-х на него возмущ-х и осн-ой вопрос теории сост-т в синтезе оптим-х замкн-х (автом-х) систем упр-ния.

Совр-е системы упр-ния базируются на 3х пр-пах упр-ния: 1) по разомкнутому контуру, 2) по замкнутому контуру, 3) в реал-м вр. При исп-нии 1го пр-па до начала процесса управления по априорной инф-ции строится программа (будущих управляющих возд-й), которая в процессе упр-я не коррект-ся. Во 2м пр-пе упр-ния текущие управляющие возд-вия (позиционные упр-ния) созд-ся для текущих реализующихся позиций по заранее (до начала процесса упр-ния) составл-м правилам, опред-м на всевозможной доступной инф-и о поведении объекта и действующих на него возмущ-х, которая может появиться в процессе упр-ния. Эти правила реализуются в форме связей 3х типов: прямых, обратных и комбинир-ных. При исп-нии третьего принципа управления упомянутые связи не создаются, их текущие значения вычисляются в реальном времени по ходу процесса управления.

Обычно задачи оптим-го упр-ния делят на 2 класса. Это задачи, св-е с постр-м оптимальной программы упр-ния, и задачи синтеза замкнутых оптимальных систем.

При оптимизации системы всегда присут-ет критерий оптим-сти, который в матем-й форме отражает цель упр-ния. Так для достиж-я макс-ной точ-сти системы программ оптим-ти может служить минимум ошибки в виде интегр-го квадратич-го критерия. , (6.1) где e(t)  отклонение регулируемой величины от требуемого значения (ошибка регулирования).

В-на J наз-тся функционалом, т.к. она зав-т от выбора ф-ций e(t), кот-ую в свою очередь можно опр-ть лишь после синтеза системы из усл-я минимума функционала J. Если целью системы управления является наиболее быстрый переход от одного состояния к другому, то в качестве критерия оптимальности используется

. (6.2) Функционал, минимум которого нужно получить, может представлять любую желаемую комбинацию оценок разных качеств системы.

Достаточно часто в качестве подынтегральной функции в критерии оптимизации используют положительно определенные квадратичные формы от фазовых координат xi и управляющих воздействий i, q .Для систем дискретного типа операция интегрирования заменяется суммированием.

Задача оптим-го упр-ния формир-ся след-м обр-м. Из мн-ва допустимых упр-ний требуется выбрать такое, которое переводит ОУ-я из нач-го полож-я в конечное и минимизирует функционал качества. Такое упр-ние и соответствующая траектория движения объекта называются оптимальными. Свобода выбора оптимальных управляющих воздействий существенно ограничивается допустимым диапазоном изменений фазовых координат и управляющих воздействий, ограничениями в виде голономных связей

, (6.3)

неголономных связей

(6.4)

и изопериметрических ограничений в виде функционалов

. (6.5)

Существуют различные способы оптимизации. В основе большинства способов лежат матем-ские вариационные методы. Оптимальные законы управления, учитывающие имеющиеся ограничения, часто получаются нелинейными.