22.. Синтез дискр-х компенс-х регул-в из условия, обеспеч-х желаемое распол-е полюсов характерист-го уравнения.
Синтез по заданному распол-ю полюсов с пом-ю ОС по сост-ю (случай единств-го управляющего сигнала). Пусть требуется, чтобы система в переем-х сост-х, замкнутая упр-м (-GX), имела желаемые корни ХАУ. Нужно найти матрицу G.
Введем следующие определения:
матрица преобр-я
сигнала(5.77)
матрица преобр-я
сигнала упр-я в замкнутой системе (5.78)
разностная
матрица сигнала упр-я (5.79)
ХАУ
матрицы A
(разомкнутой системы) (5.80)
ХАУ
матрицы A-BG
(замкнутой системы) (5.81)
(5.82)
В этих выражениях I обозначает единичную матрицу соотв-щей размерности.
Сначала покажем, что
(5.83)
Для этого запишем
(5.84)
Вычисляя определители обеих частей последнего уравнения, получим
(5.85)
Поскольку
(5.86)
где единичные матрицы им-т разл-е размерности, выражение (5.85) принимает вид
(5.87)
Таким образом, соотношение (5.83) доказано.
Важную роль играет следующее функциональное соотношение:
(5.88)
или
(5.89)
Применяя операцию обращения матриц к обеим частям уравнения (5.89), получим
(5.90)
Умножение обеих частей уравнения (5.90) слева на
I + (zI A)1BG дает
(5.91)
Теперь умножая обе части (5.91) слева на G и справа на В, получим
(5.92)
Последнее выражение запишем иначе:
(5.93)
Т.о., соотн-е (5.89) доказано. Последнее необходимое нам соотношение получим, используя выражения (5.79) и (5.77). Запишем (5.79) в виде
(5.94)
где Adj (zI A) матрица, присоединенная к матрице zI А. Пусть
(5.95)
Тогда (5.94) примет вид
(5.96)
Откуда следует, что Т(z) есть скалярная функция. Используя выражение (5.87), и учитывая (5.82), приведем последнее соотношение к виду
(5.97)
Т.о., если известны k(z), c(z) и 0(z), то из (5.97) мы можем найти реш-е для матрицы коэф-тов ОС G в случае, когда пара матриц [А, В] полностью управляема.
Из уравнения (5.97) можно получить два выражения для матрицы G. Положим:
(5.98)
(5.99)
Выразим z(k) из уравнения (5.95):
(5.100)
Тогда (5.97) примет вид
(5.101)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях последнего уравнения, получим:
(5.102)
или в матричной форме
(5.103)
Обозначим:
(5.104)
(5.105)
(5.106)
(5.107)
Тогда запишем уравнение (5.101) как
(5.108)
Из последнего уравнения находим решение для G:
(5.109)
Так как М есть треугольная матрица, содержащая единицы на главной диагонали, то она не является вырожденной. Поэтому, чтобы существовало решение для G, определяемое формулой (5.109), матрица управляемости S должна иметь ранг n, или, что то же самое, пара матриц [A, B] должна быть управляемой.
Матрица ОС G в выражении (5.109) представлена как функция коэф-в ХАУ замкнутой системы i, i = 1, 2, …, n. Другое выраж-е для G м.б. получено через желаемые собственные значения замкнутой системы. Пусть среди этих собственных значений z1, z2, z3, …, zm различные, а все остальные являются кратными. Тогда:
(5.110)
И, следовательно, из выражения (5.97) вытекает:
(5.111) Обозначим:
(5.112)
(5.113)
для i = 1, 2, …, m; тогда (5.111) примет вид
(5.114)
В случае собственного значения кратности q продифференцируем обе части выражения (5.114) по z и, полагая z = zm+j, j = 1,2,…, q, получим
(5.115) Где
(5.116)
(5.117)
Для всех n собственных значений имеем
Р
ис.
Структурная схема двигателя постоянного
тока
Тогда
(5.118)
Где
(5.119)
Если пара матриц [A, B] управляема, то решение для G, определяемое формулой (5.118), существует; при этом же условии существует и матрица K1.
Синтез по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию для нескольких управляющих сигналов
Метод синтеза систем с одним входным сигналом по заданному расположению полюсов с небольшим изменением можно распространить и на системы с несколькими входными сигналами. Рассмотрим систему
(5.120)
где x(kT) n-мерный вектор; u(kT) r-мерный вектор. Предполагается, что пара матриц [А, В] полностью управляема. Задача ставится следующим образом: найти такую матрицу G(r п), чтобы при управлении
(5.121)
собственные значения матрицы A BG размещались в произвольно заданных точках на z-плоскости.
Представим себе систему с одним входом
(5.122)
и определим матрицу В* размерностью n 1 как
(5.123)
где w имеет размерность r 1. Матрица w должна быть выбрана так, чтобы пара [А, В*] была управляема. Тогда с помощью обратной связи
(5.124)
можно разместить собственные значения матрицы A B*G* в тех же точках, что и собственные значения матрицы A BG. Следовательно, задача сводится к синтезу обратной связи по состоянию для системы с одним входом, описываемой уравнением (5.120). Если будет найдена матрица обратной связи G*, то G определим выражением
(5.125)
поскольку
BG = B*G*.
Очевидно, что в общем случае матрица w не является единственной. Требуется только, чтобы она удовлетворяла условию управляемости пары матриц [A, Bw]. Матрицу коэффициентов обратной связи G* для одномерной модели можно определить, используя соотношение (5.124), либо формулу (5.125).