11. Тройной интеграл. Определение и простейшие свойства тройного интеграла.

- ограниченное тело. Пусть f(M) непрерывна на области T,

Разобъем T на

Если предел интегральных сумм существует при условии и этот предел не зависит от способа разбиения области на элементарные подобласти и от выбора точек в этих областях, то такой предел – тройной интеграл.

Если f(M) непрерынва по области Т, то тройной интеграл существует.

Свойства: пусть интегрируемы на Т. пусть

1. Линейность.

2. Аддитивность. Если ;

3. Если для любых

4. ;

; V – объем T.

5. Теорема о среднем. Сущ

6. 

7. Если - плотность, то

11. В ычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Приложения тройного интеграла в геометрии.

Пусть областью интегрирования Т явл тело, ограниченное снизу пов-тью сверху - причем – непрерывные ф-ии в замкнутой области D, овляющейся проекцией тела на плоскость Oxy. Считаем Т правильной в направлении оси Oz. Тогда: .

Е сли область D ограничена линиями x=a, x=b (a<b), где - непрерывные на отрезке [a,b] ф-ии, причем , то:

Приложения тройного интеграла.

Объем тела.

-в декартовых координатах

- в цилиндрических

- в сферических

11. Тройной интеграл в сферических координатах.

С ферическими координатами точки M(x,y,z) пространства Oxyz называется тройка чисел , где – длина радиус-вектора точки М, – угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox, - угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz. Сферические координаты связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:

;

Для перехода к сферическим координатам нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле. Т.к. якобиан преобразования:

То

11. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

П оложение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел , где – длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Oxy, - угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox, - аппликата точки М.

Эти три числа называют цилиндрическими координатами точки М. цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

Возьмем в качестве u,v,w цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

Формула замены переменных:

11. Приложения тройного интеграла в механике.

Масса тела. При заданной объемной плотности

- объемная плотность распределения массы в точке M(x,y,z)

Статические моменты. Моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz вычисляются по формулам:

Центр тяжести тела. Координаты центра тяжести тела Т находятся по формулам:

26. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.

Скалярное поле – пространство либо область , где определена – радиус-вектор точки Р. – потенциал скалярного поля.

Основные характеристики: поверхности (линии) уровня, производная по направлению, градиент.

Поверхность уровня – множество точек, в каждой из точек потенциалы сохраняют постоянное значение.

– поверхность уровня

– линия уровня – линия на плоскости Oxy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.