Кожухов В.П., Жухлин А,М., Кодрашихин В Т,, Логиновский В.А., Лукин А.Н.

Нвгеиатчегвм

основы

еуиоэоздмшя

Издательство "ТРАНСПОРТ"

Математические основы судовождения: Учеб. для вузов/В. П. Кожухов, Л. М. Жу.хлин, В. Т. Кондрашихин, В. А. Логинов-

ский, A, Н. Лукин. М.: Транспорт, 1993. 200 с.

Приведены основные сведения из математики, сферической тригонометрии, математической картографии, необходимые для определения места судна. Изложены вопросы математической обработки навигационных измерений и теории определения места судна. Даны примеры решения задач по основным разделам учебника.

Для курсантов судоводительских факультетов морских ака­демий.

Ил. 87, табл. 13, библиогр. 16 назв.

Учебник написали: предисловие и гл. 6 А. М. Жухлин, гл. 1, 2, 4 А. II. Лукин, гл. 3 В. П. Кожухов, гл. 5 5. Т. Кон­драшихин, гл. 7 В. А. Логкновский.

Рецензенты: Н. М. Груздев, С. В. Палехов Редактор А. М, Левина

3205040000-146 (^Коллектив авторов. 1993

^к —116-93 (КБ-7-277-93) g : Издательство «Транспорт», иллюстра-

1)4У (U J) -УЗ дли, оформление

ISBN 5-277-01446

Предисловие

Для эксплуатации морских судов требуются высококвалифи­цированные специалисты-профессионалы, способные управлять судном в разнообразных ситуациях. Часть ситуаций стандартна, их штурман должен анализировать достаточно быстро и также быстро принимать решения. Значительное же число ситуаций носит нестандартный характер, и именно в них первостепенное значение приобретают теоретическая и практическая подготовка судоводителя, его общий уровень развития и профессиональная культура. Такая подготовка немыслима без знаний теории судо­вождения, традиционно опирающейся на обширную математи­ческую базу.

Будущему инженеру-судоводителю необходимы прежде всего знания тех разделов математики, которые имеют непосредствен­ное отношение к навигации, позволяют рассматривать приклад­ные теоретические задачи. Например, такие разделы математи­ки, как сферическая тригонометрия, м а тематическая статистика и элементы теории приближения функций, образуют единый тео­ретический базис определения координат места судна с оценкой его точности. Разнообразие математических приемов при обосно­вании навигационных задач и методов их решения требует на­полнения общеинженерной математической подготовки приклад­ным содержанием. Именно эта цель преследуется в курсе «Мате­матические основы судовождения».

Для углубленной проработки материала курсантам полезно обращаться к работам основоположников теории морской нави­гации. Часть таких работ перечислена в списке литературы в конце книги.

Авторы с признательностью примут замечания и пожелания, касающиеся дальнейшего усовершенствования учебника и повы­шения качества обучения по математическим основам судовож­дения.

3

Глава 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ

1.1. Погрешности вычислительных операций

Судоводителям постоянно приходится выполнять разного ро­да вычисления. Числа, лежащие в основе этих вычислений, бы­вают получены из наблюдений и измерений, выбраны из различ­ного рода таблиц или могут быть результатом предшествующих вычислений. Все эти числа могут считаться приближенными, т. е. имеющими некоторую погрешность. Сформулируем правила вы­числений приближенных чисел.

1. Точность вычислений должна соответствовать точности наблюдений или исходных чисел. Результат вычислений будет одного порядка точности или менее точным, нежели исходные данные. Для обеспечения достаточной точности конечного ре­зультата целесообразно придерживаться следующих правил подсчета необходимого числа знаков. При сложении и вычита­нии приближенных чисел результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количест­вом знаков. При умножении и делении приближенных чисел ре­зультат должен состоять из стольких значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством таких цифр. При возве­дении приближенного числа в квадрат или куб в результате должно быть сохранено количество значащих цифр, равное ко­личеству таяих цифр возводимого в степень числа. При извле­чении корней результат должен содержать такое же количество значащих цифр, что и подкоренное число.

2. Результаты вычислений необходимо подвергать контролю для выявления грубых просчетов (промахов). Промежуточные действия контролируются, например, обратными действиями, а окончательные — по контрольным формулам или другими путя­ми.

3. После окончания расчетов необходимо оценивать надеж­ность и точность результата по правилам и формулам теории погрешностей.

4. Необходимо применять наиболее совершенные формулы, таблицы, пособия, вычислительные приборы и инструменты.

5. При проведении часто повторяющихся вычислений реко­мендуется применять специальные вычислительные схемы, что экономит время и в какой-то степени гарантирует от просчетов.

4

Округляют числа при вычислениях по следующим правилам. Если отбрасывается цифра меньше 5, то последнюю (округляе­мую) цифру числа не изменяют. Если отбрасываемая цифра больше 5, то последнюю цифру увеличивают на единицу. На­пример, при округлении до десятых долей числа 194,368 полу­чают число 194,4, числа 194,318 — число 194,3.

Если отбрасываемая цифра равна 5, то округляют таким об­разом: увеличивают на единицу, если эта цифра нечетная, и ос­тавляют без изменения, если она четная, т. е. округляют так, чтобы последняя цифра числа стала четной или осталась чет­ной. Например, 25,465^25,46, а 25,475^25,48. Это справедливо, если за отбрасываемой цифрой 5 стоят только пули. Если же за пей имеются значащие цифры, отличные от нуля, то округляе­мую цифру увеличивают на единицу. Например, 25,46501 да25,47.

После округления числа оно будет написано равновероятно с недостатком или с избытком. Следовательно, все цифры округ­ленного числа можно считать верными, кроме последней — сом­нительной, имеющей наибольшую погрешность округления +0,5 округляемой цифры. Очевидно, что как положительные, так и отрицательные погрешности округления встречаются одинаково часто.

Погрешностью называется разность между приближенным и истинным значением величины. Такая погрешность называется абсолютной погрешностью А, Она выражается в еди­ницах измеряемой величины, имеющей истинное значение Л. Если обозначить приближенное или измеренное значение числа буквой я, то по определению Д = а — А.

Предположим, что с одной и той же абсолютной погрешно­стью, равной 0,5 кбт, посредством радиолокационной станции измерены два расстояния, равные 5 и 50 миль, и, хотя погреш­ность измерения одна и та же, очевидно, что второе измерение выполнено точнее первого. Следовательно, абсолютная погреш­ность не дает представления о качестве или точности измерений, поскольку они зависят не только от погрешности, но и от самой измеряемой величины. Поэтому для характеристики точности измерений или приближенной величины применяют относитель­ную погрешность 6, являющуюся отношением абсолютной по­грешности Д к приближенной или измеренной величине а, т. е. Ь = Ма.

Относительная погрешность — это безразмерная величина, которая выражается в долях единицы или в процен­тах. В последнем случае 6=100Д/а%.

При операциях с приближенными числами погрешности ре­зультатов зависят от погрешностей исходных данных. Найдем абсолютную и относительные погрешности результатов арифме­тических действий. Предположим, что имеются или получены приближенные значения ai, а₂, ..., а_л величин, имеющих истин­

5

ные значения Л_ь А₂, ..., Л_п. При этом абсолютные погрешности приближенных величин равны Д_ь Дг, An-

Абсолютная погреп!ность суммы Д_с равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых: Д_с = Ai + Д₂ + ••• + Дл. Относительная погрешность суммы б_с = Дc/(flj + + й2+ ... + а„).

Абсолютная погрешность разности Д_р равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого а\ и вычитае­мого т. е. Д_Р = А\ + Дг- От н о с и т е л ь н а я погрешность разности б_р = Д_р/(й1 — а₂). Из последней формулы очевид­но, что относительная погрешность разности близких по значе­ниям чисел может оказаться очень большой, поскольку знамена­тель в этом случае стремится к нулю.

Относительная погрешность произведения бпр равна сумме относительных погрешностей сомножителей, т. е. 6_Лр = 6i + б₂ -f + Абсолютная погрешность произведения Д_пр равна произведению сомножителей, ум­ноженному на относительную погрешность произведения, т. е. Д_пр •'Опбпр. В случае, если один из двух сомножителей

а-г является безошибочным N, то б„_Р = б] и Д_пр = a\N&\— = aiN^/ct] = NA\.

Относительная погрешность частного 6ч рав­на сумме относительных погрешностей делимого и делителя: 6.j = 6j + 62. Абсолютная погрешность частного Дч равна произведению относительной погрешности частного на его значение, т. е. Д_ч = 6₄0i/02- Если делитель в частном явля­ется безошибочным числом N, две предыдущие формулы при­мут следующий вид: 6_Ч = б₍; Л_ч — Al/ЛЛ

На основе формул погрешностей произведения погрешно­сти степени с показателем п б_ст = пЬ_а и Д_ст = яа^пб_а-

На основе формул погрешностей частного погрешности

корня п-й-степени 6_К = 6Jn и Д_к = 6«>'а/п.

Для ускорения и упрощения вычислительной процедуры и ис­ключения применения каких-либо счетных приборов при прове­дении некоторых расчетов в судовождении используют так назы­ваемые приближенные формулы. Из известного в высшей ма­тематике биномиального ряда вида (1+а)^п= 1 + па +

п(п— 1) , п(п— 1)(п— 2) ч )

» ' ₀₂4- л -а³ Н- ... можно получить, ограничив-

т 1*2 ] • 2 ■ 3

шись первыми двумя слагаемыми, сокращенную формулу возве­дения в степень (l±a)ⁿ= 1 ± па. При использовании данной формулы следует помнить, что a<Cl и степень п в свою очередь может иметь знак « + » или «—» и быть дробным числом.

Рассмотрим несколько примеров:

1) 0,981 ^s= {1—0,019)³ л 1—3 0,019 =0,943. Точный ответ до шестого зна­ка после запятой следующий: 0,944076;

6

1

2) = {1—0,022)^-3/² да (—3/2)0,022= 1 +0,033= 1,033. Точный

^; (0.978) Ч^г ответ: 1,033932.

Если есть две величины, отвечающие условию a<Cl и то можно применять следующие приближенные формулы:

(1±а)(1±р)да1±а±р.

Например, 0,991-1,015= (1—0,009) (1+0,015) да 1—0,009 +0,015=1,006. Точ­ный ответ: 1,005865;

(1±а)/(1±р)«1±а±р.

Например, 1,011/0,975= (1 +0,011)/( 1—0,025) да 1 + 0,011+0,025-1,036. Точ­ный ответ: 1,036923.

1.2. Измерение углов и дуг

Для измерения углов и дуг применяют две системы единиц. В одной из них единицы выражают угол или дугу в частях ок­ружности; во второй — в частях радиуса окружности. В первой системе применяют следующие единицы: градус равный 7збо части окружности; минута ('), рав­ная '/во части градуса, и секунда ("), равная '/во части мину­ты. Это самые распространенные в судовождении единицы, по­скольку они применяются при измерениях углов в повседневной практической деятельности;

час (ч), равняющийся V24 части окружности; часовая мину­та (мин), равная Veo части часа, и часовая секунда (с), равная 1/60 части минуты. Эти единицы, связанные с вращением Земли, применяют в мореходной астрономии.

Соотношения для перехода от градусов к часам и от часов к градусам следующие: 360° = 24ч; 1° = 4мии; 1' = 4с; 1"=1 с/15; 1 ч=15°; ) мин == 15'; 1 с=15".

Во второй системе за единицу измерения принимают угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу (рис. 1.1). Этот угол называет­ся радианом, он равен 57° 1744,80625". Радианную систему измерения углов называют также отвлечен­ной или теоретической си­стемой. Это связано с тем, что в основе ее лежит от­ношение длины дуги, со­ответствующей данному уг­лу, к радиусу окружности, т. е, величина безразмерная. Поэтому во многие форму- Рис. 1.1. Угол, выраженный в радианах

лы судовождения в теоретических расчетах подставляют без­размерные значения углов в радианах, чтобы не нарушать раз­мерности результата.

Так как угол а = иЛЩ = wA'B'jR' - ^>A"B"IR" = const то при \jAB = R угол а= 1, т. е. радиану.

Выясним значение одного радиана в градусах. Длина окруж­ности, выраженная в долях радиуса, равна 2лR, что соответству­ет ее длине 360°. Тогда: 360° = 2л/?/Я = 2д«6,283185... радиана, откуда радиан будет равен 36076,283185«57°17'44,8"«3437,7'« ~ 206264,8" ~ 57,3°.

Следовательно, для перевода углов из градусной (практиче­ской) меры в радианную (теоретическую) можно использовать следующие приближенные формулы:

а_рад« а757,3°даа73438'«а7206265;

1 1 „ 1

«рад ~ ~ О.' ~ и ;

¹ 57,3" 3438' 206265"

а_р;,_д = а°агс Г = а'агс Г=а"агс 1".

Здесь arc Г, arc Г и arc \" обозначены дуги 1°, К и 1", вы - раженные в радианной мере.

Для обратного перехода служат формулы:

а^с = а_Рад/агс Г; а' = а_рад/агс 1'; а" = «рад/arc 1".

Рассчитаем численные значения arc 1°, arc Г, arc 1":

arc Г= 1/57,2958° = 0,01745239 « 1/57,3°; arc 1° = 1/3437,7' - 0,00029089 ~ 1/3438'; a rc I" « 1 /206264,8" = 0,00000485 » 1 /200000".

При выводе многих формул навигации и мореходной астро­номии используются свойства тригонометрических функций ма­лых углов.

Разложим несколько наиболее употребительных тригономет­рических функций в степенной ряд Маклорена:

а³ , «⁵

sma = a— 4- —. •

3! 5!

а³ , 2 tga = а -г — -f —г а⁵ + .... о 1о

Выразим, как принято в судовождении, угол а в градусах:

(а⁰)³

sin а - а°агс ' (arc 1°)³ + ...;

6

cos а = 1 — (arc 1°)² + ...;

2

(а°)³

tga = а°агс 1^е + (arc Г)^э + ....

8

Таблица 1.1. Тригонометрические функции малых углов

	Предельные		значения углов		а. ...р.
	лр:I допустимой погрешности				Л. ...'
Формула определения
погрешности
	0.!		i		6(0, 1*>
sin а = a arc Г	3,2		6,9		12,5
cos а = 1	0,4		1.4		3,4
tg а = а arc Г	2,5		5,5		9,9

Для малых углов а (табл. 1.1) достаточно ограничиться при расчете значения функции лишь первыми членами разложения, т. е.

sin а л: а°агс 1°; cos а 1; tga « a°arc 1°.

Выясним, для каких же численных значений малых углов данные упрощенные формулы обеспечивают требуемую точ­ность.

Для этого воспользуемся известным из теории рядов свой­ством, которое заключается в том, что погрешность результата, вызванная отбрасыванием членов сходящегося ряда, не превы­шает первого из отбрасываемых членов разложения. Ужесточим это требование и будем считать, что погрешность равна этому члену разложения. Сделаем вывод на примере функции sin а, так как выводы для всех других тригонометрических функций абсолютно аналогичны. Поскольку решено ограничиться первым членом разложения, приравняем погрешность А второму члену

разложения, т. е. первому из отброшенных, Л = а^:5/3! = а³/6, от-

з

куда а = УбА.

Выразим погрешность Д в угловых минутах, а угол а — в градусах:

з, з

а°агс Г - УбЛ'агс 1', или а⁰ = 57,3y6A73438. у

После упрощения а⁰ = 6,9}Д'.

Очевидно, что если принять Д=Г, угол а будет 6,9°. Это оз­начает, что погрешность вычисления Д = 1' по формуле sin а = = а°агс Г может быть обеспечена только при угле «.<6,9°. Ана­логично можно получить значения погрешности, равные 0,1' и б' или 0,1°, а также исследовать подобным образом другие три­гонометрические функции.

9

1.3. Основы матричного исчисления

Строчные буквы латинского и греческою алфавитов обозна­чают векторы: вектор-строка х — \X1X2 ... Xk\ и вектор-столбец

Л" а

Х_к

где xix₂... хц — компоненты или элементы вектора.

Вообще k — вектор х над определенным множеством пред­ставляет собой упорядоченный набор (хи х₂, Xh) из k эле­ментов данного множества; Xi называется i-й координатой век­тора х, где i—\, 2, k.

Прописными буквами латинского и греческого алфавитов обозначают матрицы. Матрица Л или mX^-матрица — прямо­угольная таблица, состоящая из m строк и п столбцов.

А -

ana_v.... a_ln 021022... а-гп

(1Л)

Более формальное, но менее наглядное определение состоит в следующем: матрица А — это функция, определяемая на множестве пар целых чисел (i, /): l^izsZm, и принима­

ющая значение в определенном множестве, причем ац представ­ляет собой значение функции А в паре (1, j).

Приведенная выше формула записи матрицы (1.1) является удобной формой представления области значений функции А. Величина a/j называется (i, /)-элементом матрицы А. Последо­вательность а.1, а,;2, а;_п образует i-ю строку матрицы А, а последовательность a^j_f a₂j, a_mj — ее j-й столбец. При m = п матрица А называется квадратной матрицей порядка п, напри­мер квадратная матрица А порядка 3:

I 2 3 5 4 в

9 8 7

Единичная матрица Е — это квадратная матрица порядка п, (i, ;)-элемент которой равен 0, если и равен 1, если i = j. Например, единичная матрица 4-го порядка

10 0 0 0 10 0 0 0 10

.0 0 01

10

Все элементы нулевой тХк-матрыцы или нуль-матрицы О равны пулю, т. е. нулевая 2х4-матрица

0 0 0 0

О -

0 0 0 0

Следом квадратной матрицы 7>(А) называется сумма ее

п

диагональных элементов: 7У(А) = S аи. Диагональный эле-

i=i

мент — это элемент, лежащий на пересечении строки и столбца, имеющих одинаковый номер. Вектор-столбец можно рассматри­вать как матрицу размерности (6X1), а вектор-строку — как (1 ХЛ)-матрицу.

Транспонированием называется операция замены строк матрицы или вектора соответствующими столбцами. Эта опера­ция обозначается показателем (верхним индексом) «т», т. е. А^т. Поэтому, если

1,74 1,36

, то А^т =

А -

—0,63 —2,55 ] ,74 —0,42 1,36 0,35

-0,63 —2,55

-0,42 0,35

гели лс = 12,5 7,2 3,4|,тох^т =

2,5 7,2 3,4

Определитель матрицы А обозначается det(A) или иногда |А| и может быть определен только для квадратных матриц:

Uet(A) = апСи + ... +ацС_и+ ... + a_lnCm,

где

А -

аи

a_ni

(1.2) (1.3)

Здесь величина Си, называемая алгебраическим дополнени­ем, есть умноженный на (—1)¹⁺⁽ определитель матрицы, полу­ченной из исходной матрицы А вычеркиванием первой строки и /-го столбца. Определитель (1.2) соответствует матрице (1.3). Не следует смешивать понятия определителя и матрицы. Первый есть число, а вторая — таблица.

Выведем формулу для расчета определителя матрицы А вто­рого порядка det(A) = O11O22 — O12O21. Например, если А =

, определитель det(A) = 10-5—6-8 = 2.

10 6 8

Если определитель матрицы равен нулю, такая матрица на­зывается вырожденной, или особенной.

Обратная матрица А^-1 — ——С^т при det(A)#0. Здесь эле-

det(A)

ментами матрицы С являются алгебраические дополнения i—х, / — х элементов матрицы А.

И

Обозначим матрицу второго порядка А = ^{Utt Я[г} .

О-г 1 022 I

тогда по определению алгебраического дополнения

a-i-i	2
riet(A)	det(A)
021	а и
det(A)	dct(A)

(1.4)

Матрица, обратная матрице А, если она существует, является единственной.

12 II

Пусть А» I при det(A)=.2^0, т. е. матрица А невырожденная, следовательно имеет обратную. Согласно формуле (1.4) находим, что

3 1

А-' =

2 —2

А-»А = АА-» - Е.

А"¹ = А¹

Ортогональная матрица определяется условием

„ * I cos В sin В |

например такой будет матрица А =

I —sin в cos (-) j

Симметричной матрицей называется такая, для которой А^т = = А. Кососимметричная матрица определяется условием А^т = = —А, где —А есть матрица А, все элементы которой умноже­ны на —1. Матрица —А противоположна матрице А.

Матрицы А и В считаются равными, если они имеют одина­ковую размерность и все элементы аг, матрицы А совпадают с соответствующими элементами bi-j матрицы В.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности называется матрица S = А + В, элементы которой s,-j равны суммам соот­ветствующих элементов матриц А и В:

Sa = а и + Ь_{}.

Например:

13 -1 О -2

2 | 3

2 2 4 5 2 3

Можно складывать матрицы только одинаковой размерности. При этом сумма будет матрицей той же размерности.

Произведением матрицы А на скаляр а называется матрица, элементы которой получены из элементов матрицы А, умножен­ных на а. Эта матрица обозначается а-А. Если

			aon	aai2
А =	«21^22	, то a-A =:	(jta^i	aa22
			aosi	(1^32

Все приведенные выше операции обладают следующими свой" ствами:

переместительный закон: А -f- В = В А; сочетательный закон: (А + В) + С = А -{- (В -(- С);

12

по определению: «А = Аа; («Р)А = а{рА); (а + Р)А = aA-j- + рА; _а(А + В) = аА + аВ.

Разностью матриц А и В одинаковой размерности называется матрица R = А — В с элементами г г, — a,j —

Например:

3 2 7! 564 1—2—4 3 6 8 I ] 5 9 3 ~ | 1—1—2

Матрицы А и В называются соответственными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Перемно­жать можно только соответственные матрицы.

Произведением матрицы А размерами ту^п на матрицу В размерами {соответственных матриц) называется матрица

Р размерами ny^k, элементы которой рц определяются форму­лами

рц = анЬ 1/ + a_tib_sj + ... +fl_in; &„/ = S a_la b_a}. (1.5)

а=1

Здесь i= 1, 2, m; /— 1, 2, k.

Произведение можно записать таким образом: Р = АВ. Матрица Р будет иметь столько строк, сколько их содержит первый сомножитель А, и столько столбцов, сколько их содер­жит второй сомножитель В.

Например, если

АВ =

	I 2	3		а	X
А =	2 6	4	, в -	b	У
	3 1	5		г	г

(l-jr + 2-^ + З-г) (3-.v+ l-y + 5-z)

(I-а -V 2-Ь + 3-е) (2-a t- 6-& -1- 4-е) (3-а + 1 -Ь + 5-е)

Правило перемножения матриц часто называют правилом «строка на столбец», так как по формуле (1.5) элемент p_it про­изведения равен сумме парных произведений элементов i-й стро­ки матрицы А на элементы j-ro столбца матрицы В.

Произведение квадратных матриц одинаковой размерности есть квадратная матрица той же размерности.

14 11

8 2'

Например:

1 2	12 -3
2 4	|1 2

Произведение соответственных квадратной матрице на мат­рицу-столбец есть матрица-столбец. Произведение матрицы- столбца на матрицу-строку есть квадратная матрица, а произве­дение матрицы-строки па матрицу-столбец есть скаляр, т. е. ма­трица размерами 1x1.

Например:

1 2 1	X		х + 2 у	I 1				3 41		I ]
1 .				!		3 4	=	| •	3 4	1 2
3 4 |	У		Зл- + -1 у	1 2				6 8 i'

= 11.

13

Произведение матриц может быть нуль-матрицей, хотя оба сомножителя не являются нуль-матрицами:

0 01	1 °1-	0	0
о i Г	0 о|	0	0

Произведение матриц не обладает переместительным свойст­вом, т. е. АВ # ВА. Оно обладает сочетательным [(АВ)С = = А(ВС)] и распределительным [А(В -f С) = АВ + АС; (А+ -4- В) С = АС + ВС] свойствами. Справедливо равенство а(АВ) = (аА)В +А(аВ).

Транслонирование 'произведения двух матриц выполняется по правилу (АВ)^т = В^ТА^Т.

Рассмотрим матричную запись системы линейных уравнений. Пусть имеется система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

«и*! + '+ ... + fli,t-v_H = /i; GnXi -j- йггХг 4 ... -j- вг_пА'п — fi\ On |A'i + (IniX- -Г ... + (1 nTiA'n = fn-

(1.6)

Назовем матрицу А матрицей коэффициентов линейных урав­нений:

' ЙцЯ]; ... О t я

А --

СдС:,! ... C_in

вектор X

Хп

G-nlttr>2 **- G-nti

вектором неизвестных, а матрицу F =

мат­

рицей столбцом свободных членов. Тогда на основании правила умножения матриц систему (1,6) можно записать в матричной форме: A-Jc=F.

1.4. Линейная интерполяция и экстраполяция

При решении штурманских задач судоводителю приходится пользоваться различного рода таблицами, в которых даются дис­кретные значения функции f(x)_f соответствующие аргументу л,. Отыскание значений функции по значениям аргумента задан­ным в таблице, не составляет сложности. Однако, как правило, приходится решать задачу отыскания значения функции, которое непосредственно не дается в таблице, а находится между двумя заданными значениями функции. Это и есть интерполяция 14

Представим, что в какой- либо таблице заданы значе­ния аргумента х, отстоящие одна от другого на одну и ту же величину k, называе­мую шагом таблицы. Необ­ходимо найтн значение функции y_t = f{x+Ax), где Ax<k. Составляя интерпо­ляционную формулу для отыскания y_t, будем считать, что при изменении аргумен­та на шаг значение функции изменяется линейно, т. е. ее график на данном отрезке может быть с достаточной долей точности аппроксимирован прямой линией. Это предполо­жение лежит в основе линейной интерполяции (рис. 1.2).

Составим простейшую пропорцию, считая, что если измене­нию аргумента х на шаг k соответствует изменение функции у на величину А, то изменению аргумента на меньшую величину Ах соответствует изменение функции на величину А//, т. е.

k А

Длс Д (/,

откуда получим, что А у = AxAjk.

Для того чтобы свести к минимуму погрешности, вызванные предположением о линейности функции на рассматриваемом ин­тервале, величину Ах следует отсчитывать от ближайшего значе­ния х {т. е. всегда Ах < (fe/2)]. Она может иметь знак « + » или «—». Это необходимо иметь в виду для принятия решения о том, что следует сделать с величиной А у, сложить ее с заданным бли­жайшим значением у или вычесть из него. Такое решение будет зависеть в каждом конкретном случае от того, убывает ли зна­чение функции у = f{x) на данном интервале в данном направ­лении или возрастает.

Таким образом, рассмотрено решение задачи так называемой прямой интерполяции.

При обратной интерполяции по значению функции y_tt лежа­щему между заданными в таблице значениями, необходимо оты­скать значения аргумента х,. Пропорция в этом случае будет следующей:

А k

Ду Л л:,

{где Ay — yt — у представляет собой разность между заданным и ближайшим табличным значением функции), т. е. всегда А у < (А/2), откуда Ах = AykjA.

15

Рис. 1.2. График линейной интерпо­ляции и экстраполяции

Решение о том, складьшать или вычитать значение Ах с бли­жайшим табличным значением аргумента, необходимо прини­мать после анализа тенденции изменения аргумента на данном интервале.

Графическая интерпретация линейной интерполяции изобра­жена на рис. 1.2. Предположение о линейном изменении функ­ции на интервале привносит определенную погрешность, посколь­ку значению аргумента х% в действительности соответствует зна­чение функции у'и а не уи получаемое из данного предположе­ния.

Если считать, что функция имеет такую же тенденцию изме­нения за пределами последнего известного интервала ЛВ, как и внутри него, то можно говорить об экстраполяции, т. е. о при­менении интерполяционных формул за пределами известных значений функции. Если бы функция изменялась на интервале ВС' (см. рис. 1.2) так же, как на интернале ЛВ, то можно было бы получить ее значение в точке С', но на самом деле она про­ходит через точку С. Таким образом, становится ясным, что экс­траполяция может давать большие погрешности. В судовожде­нии она используется, например, для вычисления поправки хро­нометра на момент астрономических наблюдений.