2.3. Малые поперечные колебания упругой мембраны

Под мембраной будем понимать поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .

Введём некоторые ограничения

, где – скорость точки мембраны.

Точки мембраны колеблются перпендикулярно плоскости, в которой она находится в положении равновесия.

– отклонение от положения равновесия точки с координатами в момент времени . Скорость перпендикулярна плоскости . Таким образом, любое сечение перпендикулярно плоскости , и для него может быть построена задача, аналогичная 2.1.

б) Будем считать мембрану гибкой, т.е. силы натяжения направлены по касательной к мгновенному профилю.

Введём линейную плотность силы , тогда

Рис. 8.

Колебания малы и происходят без растяжения мембраны (рис. 8):

, что дает:

Возьмём направление , в котором мембрана имеет наиболее крутой наклон, и рассечём мембрану в этом направлении (рис. 9).

Рис. 9.

максимальный угол наклона касательной к оси x.

Градиент u направлен в сторону наибольшего возрастания функции u.

Проекции равны

, тогда

Производная остаётся постоянной и не зависит от времени.

Участок мембраны при колебаниях не сдвигается в плоскости за время (рис. 10). Пусть за время

Рис. 10.

за время _{. Получаем} условие отсутствия сдвига.

Если равны интегралы по произвольной области, то равны подынтегральные выражения.

и не зависит от .

Аналогично

, не зависит от . Следовательно,

.

Введем поверхностную плотность массы. Пусть – малый элемент мембраны и – масса мембраны, тогда

.

Используем второй закон Ньютона

.

Для малого элемента мембраны dS: ,

Для конечного по размерам участка ,

.

Получаем

_{Введем поверхностную плотность внешней силы}

, , , тогда второй закон Ньютона перепишется в виде

.

Проектируем на ось

.

Теорема Остроградского – Гаусса имеет вид в двумерном случае

, где

. Тогда

;

. В нашем случае

.

Имеем интегральное равенство для произвольных областей, следовательно, равны подынтегральные выражения.

.

Воспользуемся теоремой о среднем:

где , и получим

.

После предельного перехода

получаем

,

В отличие от одномерных задач (2.1) и (2.2) уравнение (2.3) является двумерным.

Проверяем размерность :

2.4. Электромагнитное поле в однородных средах

Запишем уравнения Максвелла в произвольной среде.

Для однородной среды

Для вакуума

Запишем уравнения Максвелла в изотропной среде ( const):

Известно векторное равенство

rot rot = grad div - ∆ .

Действуем операцией rot на первое уравнение.

Так как , то

,

.

Действуем операцией rot на второе уравнение.

,

.

Так как , то

. Получаем 6 уравнений для компонент векторов напряженности

Введем полевую функцию , для которой

, тогда получаем уравнение

Уравнение (2.4) – гиперболического типа, в соответствии с 1.6 , причем – поглощение энергии электромагнитным полем.

В одномерном случае, , уравнение принимает вид (2.1).