Тема 2. Краевые задачи гиперболического типа

2.1 Уравнения малых поперечных колебаний упругой струны.

У нас есть некая гибкая струна, которая колеблется (Рис.4).

Рис.4

В каждый момент времени струна имеет профиль – смещение точки с координатами к моменту времени .

Введем некоторые ограничения.

а) (поперечность).

Поперечные колебания реализуются перпендикулярно направлению оси и лежат в одной плоскости. В положении равновесия струна лежит на оси . Сила внешнего воздействия тоже перпендикулярна направлению оси .

б) (сила упругости) является касательной к профилю струны и ее величина мало меняется со временем (Рис.5)

Рис.5

в) Колебания малы, т.е. нет растяжения участков струны (участки струны практически не меняют свою длину).

Длина дуги

, где

Условие малости колебанийф

Выпишем проекции векторов и на оси:

, ;

,

Пусть m – массы струны длиной .

Введем линейную плотность массы .

Если струна однородна, то . Участок струны dx с dm = k dx движется со скоростью .

Для участков dx и ∆x получаем изменение импульса

, .

Теперь используем второй закон Ньютона: ,

,

Определим силу, силу действующую на участок струны

, где - внешняя сила.

Пусть и .

Сила перпендикулярна к оси , т.е. , .

Тогда второй закон Ньютона примет вид векторного равенства

Получаем проекцию векторного равенства на ось

Проекция этого равенства на ось может быть сведена к векторному равенству

Интеграл не зависит от , и нет зависимости от .

В итоге

Получаем интегральное уравнение колебаний струны.

Чтобы привести интегральное уравнение к дифференциальному, нужно воспользоваться теоремой о среднем, которая гласит

.

Тогда

где

; ; ; .

После деления на получим

после предельного перехода

, , , , , ;

получаем дифференциальное уравнение со вторыми производными

или

; (2.1)

где

, .

Для однородной струны коэффициент – постоянен.

Уравнение (2.1) описывает малые колебания струны.

Физический смысл определим из соображений размерности:

,

следовательно, является скоростью, не совпадающей со скоростью струны. Ее смысл будет установлен в дальнейшем.

Покажем, что (2.1) - уравнение гиперболического типа.

Определим дискриминант для (2.1). Сравнивая с (1.1), получаем

, , , из этого следует .

Следовательно (2.1) является уравнением гиперболического типа.

2.2. Малые продольные колебания упругого стержня

Под действием внешних сил стержень начинает колебаться.

_{Искомая функция} – величина смещения к моменту времени t точки, имевшей в положении равновесия координату х.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рассмотрим некоторые ограничения:

колебания точек стержня совершаются вдоль оси , т.е. v=v_x, T=T_x, F=F_x;

работает закон Гука, причем ;

колебания малы (по аналогии с 2.1).

Введем характеристики деформации.

Если длина отрезка в положении равновесия, а – его длина в смещенном положении, тогда – абсолютное удлинение отрезка, а – его относительное удлинение.

Пусть

_{При рассмотрении данного участка, его начало –} переходит в , а его конец – переходит в , тогда

,

Относительное удлинение примет вид

Если , получаем:

Силу натяжения по закону Гука представим как

Будем пользоваться вторым законом Ньютона:

где , а .

Введем линейную плотность массы

.

_{Если стержень однороден, то . Запишем изменение импульса}

,

.

В нашем случае .

Импульс силы равен

тогда по второму закону Ньютона получаем

Легко видеть, что v

Проекция векторного равенства на ось дает

.

Воспользуемся теоремой о среднем, получим

_{Делим последнее равенство на ∆х∆t, устремляем ∆х и ∆t к нулю}

, ,

и получаем уравнение

. (2.2)

_Пусть – константа, т.е. не зависит от x, тогда уравнение (2.2) примет вид

.

Если ввести величины , то получим

(2.2’)

(2.2’) – уравнение продольных колебаний стержня, которое совпадает с уравнением для поперечных колебаний струны; т.е. 2 разных математических процесса описываются одинаково.