4. Конечные автоматы
4.1. Основные определения и способы задания
Основной рассматриваемый объект – конечный автомат (КА).
КА
– это система (так называемая «пятерка»)
,
состоящая из таких объектов:
–
= 
– множество
входных сигналов;
– = – множество выходных сигналов;
– 
= – множество внутренних состояний;
– 
– функция, которая отображает декартово
произведение
во множество внутренних состояний
;
– 
– функция, которая отображает декартово
произведение
во множество выходов
.
Переход
из одного состояния в другое осуществляется
потактно. Пусть номер такта обозначен
как t.
Тогда
,
,
.
Таким
образом, 
– канонические уравнения для КА.
Пример.
Если A
и B
– улицы, то 
{нажатие кнопки}, 
{генератор
сигнала переключателя светофора
движения на перекрестке улиц A
и В} (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Перекресток
Внутренние
состояния:
–
движение по улице A;
–
движение по улице B;
–
пешеходный переход после движения по
улице A;
–
пешеходный переход после движения по
улице B.
Пусть алфавит выходов содержит буквы А, Б, П, тогда
|
|
|
|
|
K |
П |
П |
Б |
А |
Г |
Б |
А |
Б |
А |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
Рис. 4.2 иллюстрирует графический способ задания автомата.
Рис. 4.2. Размеченный граф автомата регулирования перекрестка
Матричный
способ заключается во введении матриц
отношений
и
:
,
где
,
где
Тем самым заданы матрицы переходов
,
и матрицы выходов
,
.
Автоматное отображение сигналов задается следующим образом:
–
– поступает
сигнал
;
–
– поступает
сигнал
;
…
–
– поступает
сигнал
.
При
этом
.
Таким
образом, получаем отображение входного
слова
в выходное слово
,
а
–
расширенная функция перехода
.
Свойства автоматного отображения:
1)
;
2)
.
Эти свойства называются свойствами (условиями) автоматности отображения.
Пример.
(рис. 4.3).
Рис. 4.3. Размеченный граф отображения
Контрольное задание
Построить граф автомата, классифицировать состояния, продемонстрировать внешнее поведение для слова длиной 20 (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Варианты задания
Номер варианта |
|
|
|
|
|
Номер варианта |
|
|
|
|
|
1 |
|
4/1 |
2/2 |
1/1 |
1/1 |
2 |
|
4/2 |
2/1 |
4/2 |
2/1 |
|
4/2 |
4/2 |
4/1 |
1/2 |
|
2/1 |
1/2 |
2/1 |
2/1 |
||
|
4/2 |
1/1 |
4/2 |
4/1 |
|
3/2 |
2/1 |
2/2 |
2/1 |
||
3 |
|
1/1 |
3/1 |
2/1 |
1/2 |
4 |
|
1/2 |
3/1 |
1/2 |
4/1 |
|
2/2 |
3/1 |
1/1 |
1/1 |
|
3/1 |
1/1 |
1/1 |
4/1 |
||
|
3/1 |
3/1 |
4/2 |
3/2 |
|
3/2 |
1/1 |
1/1 |
2/2 |
||
5 |
|
4/2 |
4/1 |
4/2 |
1/2 |
6 |
|
3/1 |
1/2 |
2/2 |
1/2 |
|
1/2 |
4/2 |
2/2 |
2/2 |
|
4/2 |
2/1 |
4/1 |
4/1 |
||
|
3/2 |
1/1 |
4/1 |
3/2 |
|
4/2 |
1/1 |
2/1 |
3/1 |
||
7 |
|
3/1 |
3/2 |
4/1 |
2/2 |
8 |
|
2/1 |
3/1 |
4/2 |
3/1 |
|
2/2 |
4/2 |
3/1 |
1/2 |
|
1/2 |
4/1 |
3/1 |
3/1 |
||
|
4/1 |
2/1 |
3/2 |
3/1 |
|
4/1 |
4/1 |
3/1 |
1/1 |
||
9 |
|
4/2 |
4/2 |
4/2 |
2/2 |
10 |
|
2/2 |
3/1 |
2/1 |
1/1 |
|
3/1 |
2/2 |
2/1 |
2/2 |
|
3/2 |
2/2 |
4/2 |
4/2 |
||
|
3/1 |
2/2 |
2/1 |
4/1 |
|
2/2 |
3/1 |
4/2 |
4/1 |
||
11 |
|
4/1 |
2/1 |
3/1 |
3/1 |
12 |
|
4/2 |
3/2 |
4/1 |
3/1 |
|
2/2 |
2/2 |
3/1 |
2/2 |
|
1/2 |
3/2 |
4/2 |
2/1 |
||
|
1/1 |
1/1 |
4/1 |
3/2 |
|
4/1 |
3/2 |
4/2 |
2/2 |
||
13 |
|
1/2 |
1/1 |
2/2 |
1/2 |
14 |
|
4/2 |
3/1 |
2/1 |
3/2 |
|
4/1 |
2/1 |
1/2 |
1/2 |
|
3/2 |
3/1 |
1/1 |
1/2 |
||
|
3/2 |
4/1 |
3/1 |
1/2 |
|
4/2 |
4/1 |
1/1 |
1/1 |
||
15 |
|
1/1 |
1/2 |
3/1 |
1/2 |
16 |
|
4/2 |
3/1 |
3/1 |
1/2 |
|
1/1 |
1/1 |
1/2 |
4/1 |
|
4/2 |
3/2 |
1/1 |
3/2 |
||
|
1/2 |
2/2 |
4/2 |
3/2 |
|
4/1 |
3/2 |
4/1 |
3/2 |
Окончание табл. 4.1
Номер варианта |
|
|
|
|
|
Номер варианта |
|
|
|
|
|
17 |
|
3/2 |
4/2 |
1/2 |
2/2 |
18 |
|
4/1 |
3/2 |
1/1 |
3/1 |
|
4/1 |
1/2 |
2/2 |
1/2 |
|
2/2 |
3/1 |
3/1 |
2/1 |
||
|
3/1 |
3/1 |
1/1 |
2/2 |
|
4/2 |
1/2 |
1/2 |
1/1 |
||
19 |
|
1/2 |
2/1 |
1/1 |
3/1 |
20 |
|
1/2 |
2/2 |
2/1 |
3/2 |
|
3/2 |
3/1 |
1/2 |
3/1 |
|
3/1 |
4/2 |
3/2 |
3/1 |
||
|
3/2 |
1/2 |
2/1 |
2/1 |
|
2/2 |
2/1 |
2/2 |
4/1 |
||
21 |
|
1/1 |
1/2 |
4/1 |
4/1 |
22 |
|
3/2 |
1/2 |
2/2 |
4/1 |
|
4/1 |
1/1 |
4/2 |
4/1 |
|
4/2 |
4/1 |
1/2 |
3/2 |
||
|
3/1 |
4/2 |
4/2 |
3/1 |
|
3/2 |
2/2 |
2/1 |
2/1 |
||
23 |
|
3/1 |
4/1 |
2/1 |
4/1 |
24 |
|
4/1 |
2/1 |
3/2 |
2/1 |
|
3/1 |
1/2 |
4/1 |
4/1 |
|
4/1 |
2/1 |
3/1 |
2/1 |
||
|
2/1 |
1/1 |
2/1 |
2/2 |
|
4/1 |
3/2 |
1/2 |
2/1 |