Введение
Математическая логика связана с классической, которая, в свою очередь, происходит от житейской. Центральные понятия: высказывание; истина и ложь; составное высказывание; равносильность высказываний. Первая попытка систематизации осуществлена Аристотелем. Логика Аристотеля является классической и относится к гуманитарному циклу наук. С ее помощью можно строить защиту в суде, но невозможно сконструировать электрическую, релейную или логическую схему.
Элементарными единицами логики являются простые высказывания. Точного определения дать невозможно (как нельзя дать точного определения точки в геометрии). Относительно любого высказывания постулируется, что оно может быть либо истинным, либо ложным. Третьего не дано.
Простые высказывания как элементы математической логики называются пропозициональными переменными, обозначаются буквами и принимают истинностные значения «И» или «Л».
Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок. Обычно рассматривают хорошо знакомые «И», «ИЛИ», «НЕ», а также «СЛЕДОВАТЕЛЬНО», «исключающее ИЛИ».
Связки аналитически задаются таблицами истинности:
А |
B |
|
A |
A |
A |
A |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
A
B
B
B
B
Импликация обладает неожиданным свойством: из лжи следует истина, но из истины ложь следовать не может. Этот момент является основой для логических выводов при различных доказательствах; при забвении этого свойства импликации обычно и совершаются непреднамеренные (или преднамеренные, так называемые софизмы) логические ошибки.
С помощью логических связок и пропозициональных переменных строятся формулы. Формулы принимают значения «И» или «Л» при конкретных значениях входящих в нее переменных.
Если при ЛЮБЫХ значениях истинности переменных формула истинна, то она называется тавтологией (или общезначимой). Если при любых значениях переменных формула ложна, то она называется невыполнимой (или является противоречием).
Для обозначения логического значения, которое принимает переменная (или формула), применим следующее: I(A).
Основная
тавтология
– I(A
A)
И.
Основное противоречие – I(A A) Л.
В данном учебном пособии рассматриваются в основном практически важные задачи и проблемы, которые могут быть решены с помощью алгоритмов. Точное определение понятия «алгоритм» достаточно противоречиво, однако практически все задачи математики решаются (если решения имеются) с помощью алгоритмов, понимаемых на интуитивном уровне.
К некоторым разделам пособия приведены варианты задач для самостоятельного решения. Задачи разделены на две группы. Одну из них представляют задачи типа контрольных вопросов, ответы на которые могут быть получены без применения ЭВМ. Вторая группа состоит из задач, решить которые без применения специальных вычислительных средств затруднительно (или невозможно).