46. Функция Аккермана

Функция Аккермана определяется рекурсивно для неотрицательных целых чисел   и   следующим образом:

Может показаться неочевидным, что рекурсия всегда заканчивается. Это следует из того, что при рекурсивном вызове или уменьшается значение  , или значение   сохраняется, но уменьшается значение . Это означает, что каждый раз пара   уменьшается с точки зрения лексикографического порядка, значит, значение   в итоге достигнет нуля: для одного значение   существует конечное число возможных значений   (так как первый вызов с данным   был произведён с каким-то определённым значением  , а в дальнейшем, если значение   сохраняется, значение   может только уменьшаться), а количество возможных значений  , в свою очередь, тоже конечно. Однако, при уменьшении   значение, на которое увеличивается  , неограничено и обычно очень велико.

Таблица значений 

\
						(всего  блоков  )

47. Дискретные задачи на взвешивание и переливание

Задачи на взыешивание

а) 3 монеты — 1 взвешивание. Сравниваем произвольную пару монет. Если они имеют одинаковый вес, то третья монета фальшивая, в противном случае фальшивой является более легкая монета.

б) 4 монеты — 2 взвешивания. Можно взвесить сначала одну пару монет, а при необходимости — вторую. Можно положить на каждую чашечку по две монеты и повторить взвешивание для более легкой пары.

в) 5 монет — 2 взвешивания. Разложим монеты на три кучки: 2 + 2 + 1. Взвесим две первые кучки. Если их веса равны, то оставшаяся монета будет фальшивой. В противном случае повторим взвешивание для более легкой пары.

г) 6 монет — 2 взвешивания. Разложим монеты на три кучки: 2 + 2 + 2. Взвесим две первые кучки. Если их веса равны, то фальшивая монета в оставшейся кучке. В любом случае повторим взвешивание для более легкой кучки.

На переливание

1. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? 

2. Как с помощью 2-литровой и 5-литровой банок отмерить ровно 1 литр? 

Можно найти решение, если первым шагом заполнить 2-литровую банку. Правда, в решении больше действий…

3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды? 

4. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу? 

Если начать с наполнения 5 литровой фляги, то получится более короткое решение (презентация, слайд 2).

5. Есть два кувшина емкостью 5 л и 9 л. Нужно набрать из источника 7 л воды, если можно пользоваться только кувшинами.

Решим задачу, наполнив первым действием 5-литровый кувшин.  Решим задачу иначе. Наполним первым действием 9-литровый кувшин.