2.3. Примеры решения задач.

Пример 1. Определить аналитическим и графическим способами усилия в стер­жнях АВ и ВС заданной стержневой системы (рисунок 2.3.1).

Дано:

F₁ = 28 кН; F₂ = 42 кН; α1 = 45°; α₂ = 60°; α₃ = 30°. Определить: усилия S_A и .S_c.

Рисунок 2.3.1- Схема к заданию примера 1

Решение:

1. Аналитическое решение:

а) рассматривает равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внеш­ние силы (рис. 1);

б) отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях S_A и .S_c. Направления усилий примем от узла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рисунок 2.3.2).

Рисунок 2.3.2- Схема действующих сил

в) выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвес­тным усилием, например с S_A. Обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Хи составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

Из уравнения (2) находим усилие:

Подставляем числовые значения:

Найденное значение SС подставляем в уравнение (1) и находим из него значение SА:

Окончательно SА = 24.88 кН;

SС =16,32 кН.

Знаки указывают, что оба стержня растянуты.

2. Графическое решение

Выбираем масштаб сил т = 10 кН/см, тогда силы F₁ и F₂ будут откладываться отрезками

Из произвольно выбранной точки 0 откладываем отрезок, соответствующий ве­личине и направлению силы . Из конца этого отрезка откладываем отрезок . Так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силово­го многоугольника, то из начала отрезка откладываем линию, параллельную век­тору S_c, а из конца отрезка откладываем линию, параллельную вектору S_A. Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рисунок 2.3.3).

Рисунок2.3.3 – Силовой многоугольник

Измеряя отрезки и и, умножая их на масштаб, находим значение и .

Вычислим допущенную при графическом решении ошибку:

Ошибка должна находиться в пределах 2 %.

Ответ:

а) аналитическое решение: S_A = 16,32 кН; S_c = 24,88 кН;

б) графическое решение: S_A = 16,2 кН; S_С = 2 5 кН.

Пример 2. Определить реакции опор балки, нагруженной, как показано на рисунке 2.3.4.

Рисунок 2.3.4 – Схема нагружения балки

Дано: F = 24 кН; q = 6 кН/м; m = 12 кН∙м; а₁ = 1,8 м; а₂ = 5,2 м; а₃ = 3 м; α = 60^о

Определить реакции опор V_А, H_А, V_B.

Решение: обозначаем опоры буквами А и В. Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями: неподвижная опора имеет реакции V_А (вертикаль­ная) и H_А (горизонтальная). Подвижная опора — реакцию V_B (вертикальная). Выби­раем систему координат ХУс началом в левой опоре, определяем равнодействующую распределенной нагрузки F_q = q∙а₂ = 6∙5,2 = 31,2 кН и чертим расчетную схему балки (рисунок 2.3.5).

Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения рав­новесия:

Рисунок 2.3.5 – Расчетная схема балки

Решаем систему уравнений.

И з уравнения (1) находим:

Из уравнения (3) находим:

Подставляем найденное значение в уравнение (2) и находим значение V_A:

Для проверки правильности решения составим сумму моментов относительно точки приложения наклонной силы R

Погрешность, полученная в результате вычислений, должна быть менее 1 %. В нашем случае

Ответ: опорные реакции балки равны V_A = 24.90 кН; V_В = 27,08 кН; Н_А = 120кН.

Пример.3 Определим положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур (рисунок 2.3.6).

Дано: а = 2,0 м; b = 3,0 м; h₁ = 4,0 м; h₂ = 3,0 м; d = 2,0 м. Определить: Хс; Ус.

Рисунок 2.3.6- Сечение для расчета центра тяжести

Решение:

1. Чертим сечение в масштабе 1:200 (рис. 6).

2. Разбиваем сечение на пять фигур: два прямоугольника, два треугольника и круг. Они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5.

3. Укажем центры тяжести простых фигур: точки С1, С2, С3, С4, С5.

4. Выбираем систему координат. Ось X проведем через нижнюю грань сечения, а ось У совместим с осью симметрии сечения.

5. Определяем координаты центров тяжестей отдельных фигур:

m C1 X1= 0; у₁ = h₁ + h₂\2 = 4 + 3\2 = 5,5 м;

m C₂ x₂= 0; y2 = h\2 = 2 м;

mC₃X₃=-b\3 = -1,0 м; y₃ = 2\3• h₁ = 2\3• 4 = 2,67 м;

m C₄ x₄ = b\3 = 1,0 м; y₄ = 2\3 • h₁ =2\3• 4 = 2,67 м;

m C₅ x₅= 0; y₅=h₁=4 м.

6. Вычисляем площадь отдельных фигур:

А₁= (За + 2*b) h₂= 12*3 = 36 м²;

А₂= a*h₁= 2*4 = 8 м²;

А₃ = А₄ =1\2*b*h₁ =1\2*3*4 = 6 м²;

А₅= -πа²\4= - 3,14*2²\4= -3,14 м².

(Площадь отверстия считаем отрицательной.) Тогда площадь всей фигуры:

А = ∑A_R = 36 + 8 + 2*6 - 3,14 = 52,86 м².

7. Вычисляем статические моменты площади относительно координатных осей:

Sy = ∑X_R*A_R = 0*36 + 0*8 – 1*6 + 1*6 – 0*3,14 = 0;

Sx = ∑У_R*А_R= 5,5*36 + 2*8 + 2*2,67*6 – 4*3,14 = 233,5 м3.

8. Вычисляем координаты центра тяжести сечения по формулам:

X_c = S_y\A; Y_c=S_x\A

Получаем в нашей задаче:

X_c =0; Y_c =4'42м

9. Показываем на рис. 9 положение центра тяжести сечения С и проводим цен­тральные оси ХУ. Проверку правильности решения можно осуществить, вычислив статический момент площади относительно центральной оси Хс. Он должен быть равен нулю. Получаем:

S_AC= 1,08*36 - 2,42*8 - 21,75*6 - 0,42(-3,14) = 40,20 - 40,26 = -0,06 ≈ 0.

Погрешность: δ=0,06\40,26 • 100 % = 0,15%

Пример 4. Для данного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нор­мальных напряжений. Определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса (рисунок 2.3.7).

Дано: F1 = 28 кН; F₂ = 64 кН; l1= 2,4 м; l₂ = 2,2 м; l₃ = 2,0 м; А = 3,2 см²; Е= 2,1∙10⁵ МПа.

Рисунок 2.3.7- Схема ступенчатого бруса

Решение:

Проводим ось Z в сторону свободного конца бруса и определяем реакцию задел­ки V.

Разбиваем груз на участки, границы которых определяются сечениями, где изме­няется площадь поперечного сечения или приложены внешние силы. На каждом из участков проводим характерные сечения 1—1; 2—2; 3—3. С помощью метода сечений определяем продольные силы на каждом из участков бруса: мысленно рассекаем брус в пределах первого участка сечением 1—1, отбрасываем верхнюю часть бруса и заменяем ее действие продольной силой N_x (рисунок 7), для оставшейся части составля­ем уравнение равновесия:

Аналогично находим и сечение 2—2 (рис. 7):

а также сечение 3—3 (рис. 7):

По найденным значениям продольной силы строим соответствующую эпюру. Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее её от­кладываем отрицательные значения, соответствующие сжатому участку, а правее — положительные значения, соответствующие растянутому участку (рисунок 7). Определя­ем нормальные напряжения в характерных сечениях бруса по формуле:

Строим соответствующую найденным значениям эпюру (рисунок 7). Определяем абсолютное удлинение бруса.

В соответствии с законом Гука:

где Е= 2,1∙10^s МПа — модуль продольной упругости для стали. Складывая удлинения участков, получим:

Учитывая, что 1 м = 10³ мм, будем иметь

Абсолютное удлинение бруса ∆l = 0,39 мм.

Пример 5. Для двутавровой балки построить эпюры поперечных сил Q и изгиба­ющих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв αy = 160 МПа.

Дано: F_l = 24 кН; F₂ = 36 кН; l₁ = 2,0 м; l₂ = 3,0 м; l₃ = 3м; m₁ = 18 кН∙м; m₂ =24 кН∙м.

Решение. Составляем уравнения равновесия параллельной системы сил, из кото­рых определяем опорные реакции балки.

Из уравнения (2) находим V_А:

Рисунок 2.3.8 – Расчетная схема балки

Рисунок 2.3.9 – Эпюра поперечных сил

Рисунок 2.3.10 – Эпюра изгибающих моментов

Из уравнения (1) находим V_B:

Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму про­екций всех сил на ось У

т.е. реакции определены верно.

Определяем значения поперечной силы Q в характерных сечениях балки, кото­рые обозначим цифрами 1, 2, 3, 4 (рисунок 2.3.8).

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил Q (рисунок 2.3.9 ). Определя­ем значения изгибающего момента М в характерных сечениях балки:

По найденным значениям строим опору изгибающих моментов М (рисунок 2.3.10). По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сече­ния, в котором изгибающий момент имеет наибольшее значение по абсолютной ве­личине).

В нашем случае это сечение 3, где

Из условия прочности балки на изгиб

вычисляем необходимый осевой момент сопротивления:

В соответствии с ГОСТ 8239—72 принимаем сечение из стального двутавра № 33 с W_X = 597 cм².

Имеем напряжение:

что находится в разрешённых пределах (не менее 5 %).

Ответ: сечение балки – двутавр № 33.

Пример 6. Условие задачи. Для заданной статически определимой фермы (рисунок 2.3.11) необходимо построить диаграмму Максвелла-Кремоны; по построенной диаграмме определить числовые значения усилий и составить таблицу расчетных усилий

Дано: схема фермы на рис. 15, F - 20 кН; h₁ - 0,5 м;

3 м; d = 3 м.

Рисунок 2.3.11- Сема фермы

Решение:

1. Вычерчиваем геометрическую схему фермы в масштабе 1:200 (в 1 см - 2 м).

Рис. 16 выполнен в указанном масштабе.

2. Обозначение полей:

а) внешние поля ограничены внешними силами и поясами фермы, они разом­кнуты. Эти поля будем обозначать буквами а, Ь, с, d,..., обходя ферму по часовой стрелке. Если ферма и нагрузки имеют ось симметрии, то симметричные поля пра­вой половины обозначим теми же буквами, что и на левой половине, но с индекса­ми, например: а', Ь', с', d',... . В нашем случае внешние поля имеют обозначения: а, Ь, с, с¹, b', a', d';

б) внутренние поля ограничены только стержнями фермы, они замкнуты. Обоз­начим их цифрами 1, 2, 3, …, обходя ферму слева направо. При симметричной схеме фермы поля правой половины можно обозначить теми же цифрами, что и левой, например: 1, 2, 3,... . В нашем случае внутренние поля: 1, 2, 3, 4, 4', 3', 2', 1'.

3. Определение опорных реакций.

Так как ферма и нагрузки имеют ось симметрии, то опорные реакции фермы равны между собой.

V_А= V_В= ∑Fr\2=(F\2+ F +F + F + F\2)\2= 4F\2= = 2 • 20 = 40 кН

4.Построение диаграммы:

а) Выбираем масштаб сил: в 1 см -- 10 кН;

б) Строим силовую линию а—Ь—с--с'—b'—a'—d из внешних сил (рисунок 2.3.12): откладываем в принятом масштабе силу F\2 (а - Ь), затем силу F(b—0) и далее все заданные силы и реакции в том порядке, в котором они встречаются при обходе контура фер­мы по часовой стрелке. В результате получаем замкнутый силовой многоугольник а—Ь—с—с'—b'—a'—d'—а, расположенный (ввиду параллельности всех внешних сил) на одной прямой;

Рисунок 2.3.12 – Схема силовых многоугольников

в) Построение диаграммы усилий.

Мысленно вырезаем узел С, в котором сходятся два стержня, которые будем называть Ь-1 и а-1. На силовой линии уже есть точки «а» и «Ь». Проведем через точку «а» линию, параллельную стержню а-1, через точку «Ь» — линию, параллельную стер­жню Ь-1. Точка их пересечения обозначается цифрой 1, а в нашем случае она совпа­дает с точкой Ь. Далее вырезаем узел D. В нем сходятся три стержня: а-1; 1-2; 2-d. На диаграмме уже есть точки «а», «d», «1». Проведем через точку «1» линию, параллель­ную стержню 1-2, а через точку «d» — линию,

параллельную стержню 2-d, до взаим­ного пересечения. Точку пересечения

линий 1-2 и 2-d обозначим цифрой 2.

Масштаб длин: 1:2000

О 2 м 4 м

1_________1__________1

Масштаб сил: 10 кН\м

О 10 кН 20 кН

I__________I__________I

Рисунок 2.3.13- Диаграмма Максвелла—Кремоны

Аналогично вырезаем узлы Д и Е, строим точки 3 и 4.

На этом можно закончить построение диаграммы, так как усилия в симметрич­ных стержнях одинаковы. Полностью диаграмму можно построить, определяя по­ложение точек Г, 2', 3', 4' как симметричные точкам 1, 2, 3, 4 относительно оси симметрии (горизонтальная ось, проходящая через точку «d»).

Знаки усилий определяем следующим образом (на примере узла А). Так как силовой многоугольник, построенный для данного узла, замкнут, то усилие а-1 на­правлено от точки «а» к точке «1», усилие 1-2 — от точки «1» к точке «2» и усилие 2-d от точки «2» к точке «d». Мысленно перенеся эти направления на соответствую­щие стержни схемы фермы, видим, что усилия а-1 и 1-2 направлены к рассматрива­емому узлу и, следовательно, являются сжимающими, а усилие 2-d направлено от рассматриваемого узла, т.е. оно растягивающее. На диаграмме сжимающие усилия покажем двойной линией, а растягивающие - одинарной линией (рисунок 2.3.13).

5. Определение усилий по диаграмме. По построенной на рисунок 13 диаграмме измеряем расстояние между точками, соответствующими определенному стержню,

и, умножая полученное значение на масштаб (т = 10 кН\см), получим значения усиле-

ния:

S₁=0;

S c-d =S_С'-3=-2,9 см*10 кН\см=29 кН;

S _2-d =S₂¹_-d¹ =+2,9 см*10 кН\см=+29 кН;

S_4-d = S₄¹_-d¹ = +3,9 см*10 кН\см=39 кН;

S_l-a=S_l¹_-a¹ = -1,0 см*10 кН\см= -10 кН;

S_2-3 = S₂^,_-3^, = +1,0 см-10 кН\см= +10 кН

S_{3-4 =}S _3'-4' = - 1,5 см*10 кН\см= -15 кН

S_1-2 = S₁¹_-2¹= -4,3 см*10 кН\см= -43 кН

S _4-4¹ = +0,7 см*10 кН\см = 7 кН.

Найденные усилия записываем в таблицу 2.3.1.

Таблица 2.3.1- Результаты расчетов усилий в стержнях фермы

Элементы фермы	Наименование стержней	Усилие, кН
		«+» растягивающее	«—» сжимающее
Верхний пояс	Ь-1 (Ь'-11)	—	0
	с—3 (с'-З')	—	-29
Нижний пояс	2-d (2'-d')	29	—
	4-d (4'- d')	39	—
Стойки	1-а (11-а')	—	-10
	2-3 (2'-3')	10	—
	4-4'	7	—
Раскосы	1-2 (11-2')	—	-43
	3-4 (31-4')	—	-15

Пример 2. Для неразрезной балки (рисунок 2.3.14) построить эпюры Q и М.

Дано: F₁= 40 кН; F₂= 20 кН; q= 8 кН/м.

F1 = 40 кН g=8 кН/м F2 = 20 кН Рисунок2.3.14 – Схема неразрезной балки	Мо Моо
Рисунок 2.3.15 – Эпюра изгибающих моментов М0 Рисунок 2.3.16 – Эпюра опорных моментов Рисунок 2.3.17 – Эпюра изгибающих моментов 24,85 25,53 23,32	М

Рисунок 2.3.18 – Эпюра продольных сил

Решение:

1. Нумеруем опоры слева направо: 0, 1,2, 3. Длины пролетов обозначим l₁, l₂, l₃. Вычисляем степень статической неопределимости (число лишних связей): Л = С_оп - 3 = 5 -- 3 = 2 — балка дважды статически неопределима.

2. Вычисляем для каждого пролета фиктивные опорные реакции А^ф и В^ф (при­ложение А):

А^ф₁ = В^ф ₁= (F_1*l₁²)/16 = (40*6²)/16= 90 кН • м²;

А^ф₂ = В^ф ₂₌(q_*l₂³)/24 = (8_*6²)/24 = 72кН.м²;

А^ф₃ = В^ф ₃= (F_1*а(l₃ -а))/2= (20-2(26-2))/2 =80кН.м².

3. Для каждой из промежуточных опор составляем уравнение трех моментов.

Для опоры 1: М₀l₁ + 2M₁(l₁+ l₂) + М₂ l₂= -6(В₁^Ф+ A₁^Ф).

Для опоры 2: М₀ l₂+ 2М₂(l₂+ l₃) + М₃ l₃= -6(В₂^Ф+ A₂^Ф).

Подставляя в это уравнение числовые данные, учитывая, что М₀ = М₃= 0, полу­чаем систему уравнений для нахождения М₁ и М₂:

2 М₁ (6+6) + М₂*6= -(90 + 72);

М₁*6 + 2М(6 + 6) = -6(72 + 80).

После упрощения получаем:

4 М₁ + М₂= -162;

M₁ + 4М₂= -152.

Решая систему методом подстановки, находим:

M₁ = —33,2 кНм; М₂= -29,1 кНм.

4. Построение эпюры изгибающих моментов.

а) эпюра М° — эпюра моментов для каждого момента, для каждого пролета, рассматриваемого как простая балка:

пролет 1: М_А = F ₁— L ₁ = (40-6)/4 = 60 кН • м² ;

пролет 2: Мв = (q • l₂² )/ 8 = 8*6²/8 = 36 кН • м²;

пролет 3: Мс = F₂*a = 20*2 = 40 кН*м²;

соответствующая эпюра — на рис. 2.3.15;

б) эпюра М^оп — эпюра опорных моментов.

Опорные моменты: М₀= 0; М₁ = -33,2 кНм; М₂= -29,1 кНм; М₃=0; соответ­ствующая эпюра — на рисунок 2.3.16;

в) эпюру изгибающих моментов для неразрезных балок строим, суммируя значе­ния эпюр М° и М^оп .

М₀=0;

М_А =60-33,2 /2 = 43,4кНм²;

М₁ = 33,2 кНм;

Mq = 36 – (33,2 + 29,1)/2= 4,85 кН м²;

М₂= 29,1 кНм;

Мв =40-(29,1*2)/ 6 = 20,6кНм2;

Мс = 40--(29,1*4)/ 2 = 30,ЗкНм2;

М₃= 0;

соответствующая эпюра — на рисунок 2.3.17.

5. Построение эпюры поперечных сил. Эпюру поперечных сил построим с ис­пользованием дифференциальной зависимости между Q и М: dМ/dZ= Q. В этом слу-

чае эпюра поперечных сил для n-го пролета определяется по формуле

Qz= Qz ^с+ (Мпр-Млев)/ l_п,

где Q_z^с — балочная поперечная сила в сечении n-го пролета от заданной нагрузки. Получаем:

Qсп =20+ (-33,2-0)/6= 14,47 кН;

Q_А1 = -20 + (-33 2-0)/6= -25,53 кН;

Q₁^ПPAB = 8*6/2 +(-29,1 +33,2)/6 = 24,68 кН;

Q₁^ЛЕВ = 8*6/2 +(-29,1 +33,2)/6 = 23,32kH;

Q_2B = 20+(0+29,1)/ 6 = 24,85 кН;

Qвс=0+(0+29,1)/ 6 = 4,85кН;

Q_C2 = -20 + 0 + 29,1/6= 15,15 кН.

Строим соответствующую эпюру Q (рисунок 2.3.18).

6. Определяем опорные реакции в балке по формуле

R_n= -Qn + Qn+1,

где Qn и Qn+1 — поперечные силы, действующие слева и справа от опоры.

Находим:

Ro = 14,47 кН;

R₁ = +25,53 + 24,68 = 50,21 кН;

R₂ = 23,32 + 24,85 = 48,17 кН;

R₃ = 15,15 кН.

7. Проверку правильности решения проведем, составив сумму проекций всех сил на ось У:

∑F_Ry = Rо – F₁ + R₁ - q l₂+ R₂ - 2 F₂ + R₃ = 14,47 -40 + 50,21 - 8-6 + 48,17 -40+ 15,15 = 128 - 128 = 0.

Следовательно, задача решена, верно.