42. Виды модуляции в импульсных системах

Импульсной называется система, содержащая по крайней мере один импульсный элемент.

На вход импульсного элемента, осуществляющего квантование, подается непрерывный сигнал, а на его выходе формируется последовательность импульсов, форма которых может быть самой разнообразной. Она зависит от вида модуляции, реализуемой в импульсном элементе. Параметры импульсов изменяются в соответствии со значением входного сигнала и этот процесс их изменения и называется модуляцией.

Различают следующие виды модуляции:

1. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

Между импульсами одинаковые расстояния. Ширина импульсов тоже постоянна. Меняется амплитуда импульсов.

2. Широтно-импульсная модуляция (ШИМ)

При этом виде модуляции амплитуда импульсов постоянна, а меняется только ширина импульсов.

3. Частотно-импульсная модуляция(ЧИМ)

4. Время-импульсная (или фазо-импульсная) модуляция (ФИМ)

При АИМ структурную схему системы можно представить :

ИЭ – импульсный элемент

Параметры:

- Период квантования

Коэффициент усиления по амплитуде

Длительность импульса

Относительная длительность импульса

43. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.

При расчете переходных процессов, связанных с действием в цепи непрерывных сигналов, мы использовали либо метод переменных состояния, в основе которого лежит интегрирование дифференциальных уравнений, либо операторный метод, сводящий операции между напряжениями и токами элементов цепи к алгебраическим соотношениям для их изображений. При анализе действия дискретных сигналов первому из них отвечает рассмотренное выше решение разностных уравнений. Остановимся теперь на втором методе анализа импульсных систем, использующем, как и операторный метод, переход от операций над самими сигналами во временной области к действиям над их изображениями в частотной области. Он сводит разностные соотношения между сигналами дискретного времени — решетчатыми функциями — к алгебраическим связям между их изображениями.

Применим обычное преобразование Лапласа к соотношению непрерывного времени

,

выражающему последовательность d-импульсов. Так как изображение по Лапласу функции d (t – kТ) равно e^–skТ, то для рассматриваемой последовательности имеем

.

Последовательность прямоугольных импульсов

имеет изображение:

.

Нетрудно показать, что операторное изображение F(s) любой последовательности импульсов одинаковой формы будет иметь аналогичную структуру – оно приводится к сумме  , а форма импульсов определяет дополнительный множитель перед суммой.

Поэтому дискретное преобразование Лапласа произвольной решетчатой функции f[k] определяется соотношением

.

Оператор e^–sT в этой формуле имеет смысл оператора запаздывания на время одного шага Т. При определении воздействия дискретного сигнала на цепь этот экспоненциальный множитель будет входить во все соотношения. Поэтому обозначая e^sT сокращенно символом z, мы приходим к z-преобразованию, для которого формула прямого преобразования имеет вид

Поскольку z-преобразование выражает главную часть ряда Лорана, оно также называется преобразованием Лорана. Условия сходимости z-преобразования связаны со сходимостью исходного преобразования Лапласа. Напомним, что для сходимости интеграла Лапласа   вещественная часть переменной s = s + jw должна обеспечить при s > s₀сходимость интеграла даже при растущей функции f(t). Так как комплексные переменные s и z связаны соотношением z = e^sT = e^sT e^jwT, то модуль ½  z ½  = e^sT выбирается таким, чтобы ряд F(z) сходился и для возрастающей последовательности f[k]. Таким образом, F(z) сходится вне круга с радиусом  . Из сказанного следует, что z-преобразование существует для последовательностей f[k], растущих при k ®  ¥ не быстрее экспоненциальной последовательности e^s0^kT.

z-изображение решетчатых функций, изображение разностей. Так же, как и при изучении свойств преобразования Лапласа, когда мы в качестве "ключевой" функции рассматривали экспоненту, определим z-преобразование экспоненциальной решетчатой функции f[k] = e^ak. Согласно общей формуле имеем  . При выполнении условия сходимости — выбора модуля ½ z ½ > e^a — это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Применяя известную формулу для ее суммы, получим

.

Следует обратить внимание на сходство полученного результата с преобразованием Лапласа экспоненциальной функции e^at ® 1/(s - a). Заметим, что множитель a в показателе решетчатой экспоненты может быть и комплексным. Это позволяет, в частности, получить z-изображения решетчатых функций, изменяющихся, например, по закону синуса, выражая их через экспоненты с помощью формулы Эйлера. Из полученного изображения вытекает также представление решетчатой функции, принимающей постоянное значение f[k] = f₀. Полагая в полученной формуле a = 0 и умножая на постоянную f₀, найдем 

.

.

Многие свойства z-преобразования в определенном смысле аналогичны свойствам  преобразования Лапласа. Сюда относится, в частности, изображение смещенной последовательности, являющееся аналогом теоремы запаздывания.  Пусть последовательность f[k] имеет изображение F(z). Найдем z-изображение F₁(z) такой же последовательности, смещенной на один шаг f[k + 1]:

.

В последнем равенстве мы произвели замену k + 1 = n. Добавление и вычитание из последнего результата величины zf[0] позволяет выделить в нем z-изображение исходной последовательности

.

Таким образом, окончательно

.

Изображение разности Df[n] = f[n + 1] – f[n] получим, вычитая изображения f[n + 1] и f[n]:

.

Для вывода формулы обратного z-преобразования — нахождения последовательности f[k] по ее изображению F(z) — используем выражение для коэффициентов ряда Лорана. Поскольку результат прямого преобразования представляет собой ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, то для вычисления коэффициентов этого ряда имеем формулу

,

где интегрирование производится по контуру с, охватывающему все особые точки функции F(z), например, окружность (рис. 21.1).

Рис. 21.1

Формула обратного z-преобразования также связана с формулой обратного преобразования Лапласа. В частности, связь z = esT показывает, что путь интегрирования в плоскости s при обратном преобразовании Лапласа — бесконечная прямая s = s0, параллельная мнимой оси, — переходит в плоскости z в окружность с радиусом  , интегрирование по которой ограничено конечными пределами w = (- p /T, p /T).

Однако, как и в преобразовании Лапласа, применение общей формулы обратного z-преобразования чаще заменяется более простыми выкладками. Если подынтегральная функцияF(z) имеет особенности только в виде полюсов, то контурный интеграл на комплексной плоскости можно вычислить с помощью теоремы о вычетах

,

где суммирование ведется по всем полюсам функции.

Если изображение представляет рациональную дробь F(z) = G(z)/H(z), а F(z)z^k–1 имеет только простые полюса, отличные от нуля, применение правила вычисления вычетов в простых полюсах позволяет получить формулу

где z_n – корни знаменателя F(z), т. е. уравнения H(z) = 0, а H'(z) = dH/dz. Легко увидеть, что и эта формула является аналогом теоремы разложения для преобразования Лапласа.

Однако, при обратном z–преобразовании изображения с кратными полюсами встречаются чаще чем при обычном   преобразовании Лапласа. Например, к кратным полюсам приводят решетчатые функции, описывающие конечные последовательности, а также последовательности с нулевыми начальными членами. В этом случае для определения оригинала f[k] используют формулу вычисления вычетов в кратных полюсах. Можно также применить  разложение F(z) в ряд по отрицательным степеням z^–k, приводящее изображение к виду ряда прямого z–преобразования, k–й член которого выражает значение  f[k].