50. Характеристические функции. Цпт для одинаково распределенных слагаемых.

Центра́льные преде́льные теоре́мы— класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимыхслучайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Пусть   есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние   и  , соответственно. Пусть также

.

Тогда

 по распределению при  ,

где   — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом X выборочное среднее первых n величин, то есть  , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

 по распределению при  .

1. Задачи математической статистики.

Математическая статистика (МС) изучает методы сбора, обработки и анализа данных, получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Задачи, решаемые методами МС:

1. Изучение большой совокупности объектов по небольшому их количеству, извлеченному из всей совокупности случайным образом (выборочный метод).

2. Выяснение характера распределения, нахождение приближенных значений параметров распределения.

3. Определение формы и силы связи между случайными величинами.

2. Генеральная совокупность. Типы выборок и способы отбора.

Генеральная совокупность - это общая группа предметов, подлежащих статистическому исследованию.

Отобранные из генеральной совокупности объекты и подлежащие изучению, называются выборочной совокупностью или просто выборкой.

Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число объектов этой совокупности.

Типы выборок и способы отбора

Различают два основных типа выборок: повторная и бесповторная.

Выборка называется повторной, если отобранный объект, перед отбором следующего, возвращается в генеральную совокупность.

Выборка называется бесповторной, если отобранный объект, перед отбором следующего, не возвращается в генеральную совокупность.

Выборка называется репрезентативной, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку.

Существует два основных способа отбора:

1. Отбор, не требующий разбиения генеральной совокупности на части:

a) случайный бесповторный отбор, при котором объекты извлекаются из всей генеральной совокупности по одному случайным образом без возвращения.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части:

a) типический отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее типической части.

b) механический отбор, при котором генеральную совокупность механически делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

c) серийный отбор, при котором объекты выбираются из всей генеральной совокупности не по одному, а сериями и подвергаются сплошному обследованию.