Лаб. Раб. № 5 (ЕНФ, весна 2012 )

Лабораторная работа №5 Логические функции

Булева алгебра

Теоретической базой цифровой техники являются алгебра логики, двоичная арифметика и теория конечных автоматов. улева алгебра, созданная в середине 18 века Дж. Булем, оперирует с логическими переменными. Основополагающим законом булевой алгебры является закон исключения третьего, согласно которому логические переменные, в отличие от переменных обычной алгебры, могут принимать только два значения {«нет», «да»}, {«ложь», «истина»} и т.д. Переменные обычно обозначаются, как и двоичные цифры, символами 0 и 1.

Булева (логическая) функция – это функция, принимающая значения 0 или 1 в результате логических операций над логическими переменными. Операции над переменными записываются с помощью символов: &, ∨, – и т.д.

Булева функция может быть задана:

1) словесным описанием (назначением, определением);

2) таблицей истинности;

3) формулой, состоящей из букв, знаков логических операций и скобок;

4) комбинационной схемой, составленной из логических элементов;

5) координатным способом (картой Карно) и т.д.

Рассмотрим задание булевой функции с помощью таблицы истинности. Любая логическая функция нескольких переменных однозначно задается в виде таблицы истинности, в левой части которой выписаны все возможные наборы значений её аргументов x₁, …, x_n, а правая часть представляет собой столбец значений функций, соответствующих этим наборам аргументов.

Пример. Составить таблицу истинности для функции f трех переменных x₁, x₂, x₃, которая равна единице в случае, если только одна из входных переменных равна 1.

Построим таблицу истинности:

Входные переменные			Выходная переменная
x1	x2	x3	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Набор значений переменных, на котором функция принимает значение 1 (f = 1), называется единичным набором функции f; множество всех единичных наборов – единичным множеством функции f.

Аналогично набор значений, на котором функция равна нулю (f = 0), называется нулевым набором функции f, а множество нулевых наборов – нулевым множеством.

В общем случае таблица истинности для функции от n переменных должна иметь 2ⁿ строк.

Булевы функции одной переменной

Количество всех булевых функций с определенным набором переменных (аргументов) определяется числом n переменных и равно .

Переменная x в функции f называется фиктивной (несущественной), если значение переменной х не влияет на значение булевой функции.

Булевы функции одной переменной называются также унарными логическими функциями. Количество унарных функций равно .

Таблицы истинности унарных функций:

Входная переменная	Выходная переменна
x	f0	f1	f2	f3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1
обозначения	const “0”	x	x	const “1”

f₀ – функция const “0” (“константа ноль”). Функция всегда равна нулю и не зависит от входного аргумента x. Переменная x является фиктивной.

f₁ – функция . Функция всегда равна значению входного аргумента x, т.е повторяет его.

f₂ – функция (инверсия, отрицание переменной, функция НЕ, NOT). Функция принимает значения отличные от входного аргумента x.

f₃ – функция const “1” (“константа один”). Функция всегда равна единице и не зависит от входного аргумента x. Переменная x является фиктивной.