4. Основные топологические понятия и определения
Основными топологическими понятиями теории электрических цепей являются ветвь, узел, контур, двухполюсник, четырехполюсник, граф схемы электрической цепи, дерево графа схемы. Рассмотрим эти понятия.
Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током. Она может состоять из одного или нескольких последовательно включенных элементов. Так, схема цепи на рис. 1.7 состоит из пяти ветвей.
Узлом (сложным узлом) называют место соединения трех и более ветвей называют сложным узлом. Сложный узел обозначается на схеме точкой. Сложные узлы, имеющие равные потенциалы, объединяются в один потенциальный узел. На схеме рис.1.7 узлы 1′ и 2′ могут быть объединены в один потенциальный узел. Поэтому схема имеет три сложных потенциальных узла.
Контуром называют замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов электрической цепи. Для схемы рис. 1.7 один из контуров включает позиции 2; R5; 2′; R4. Независимым называется контур, в состав которого входит хотя бы одна ветвь, не принадлежащая соседним контурам. Так, схема рис.1.7 содержит три независимых контура.
Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами – полюсами. Двухполюсник обозначают прямоугольником с индексами «А» или «П» (рис.1.8).
Рис.1.8. Пассивный двухполюсник
Индекс «А» применяют для обозначения активного двухполюсника, в составе которого есть источники Э.Д.С. Индекс «П» применяют для обозначения пассивного двухполюсника. Например, часть схемы рис.1.7 с зажимами а и б может быть представлена пассивным двухполюсником.
Графом называют совокупность узлов и соединяющих их ветвей. Каждый граф характеризуется своей топологией, т. е. связями отдельных узлов друг с другом и значением проводимости каждой ветви (обозначаются латинскими буквами а, в, с,…) рис. 1.9.
Теория графов – это учение об общих топологических свойствах графов и о вытекающих из них методах расчетов. Она развивалась в двух направлениях. В первом направлении за основу принимается информация о графе, выраженная в виде системы уравнений. Изучение свойств цепей производят путем использования общих свойств матриц и определителей.
Во втором направлении за основу принимается информация о топологии графа. Изучение свойств цепей производят путем применения ряда правил по преобразованию графов, либо правила Масона. Это направление развивалось двумя путями: теория направленных графов и теория ненаправленных графов.
Направленным, или линейным, графом называют совокупность узлов и соединяющих их ветвей, стрелки на которых указывают направление передачи сигнала от одного узла к другому. Узлами в направленных графах являются токи или напряжения исследуемых электрических цепей рис 1.10.
Каждая ветвь графа характеризуется величиной передачи. Под передачей ветви понимают отношение выходной величины к входной. Так, например величина х2 ветви рис.1.10 равна произведению входной величины х1 на передачу а. Передача ветви может иметь размерность проводимости, сопротивления или быть безразмерной.
Ненаправленный граф представляет собой топологическое изображение самой электрической цепи. Узлы и ветви этого графа соответствуют узлам и ветвям исходной электрической схемы. Свойства ветвей характеризуют их проводимости. Передачи ветвей имеют размерность проводимостей и обозначаются латинскими буквами а, в, с,… При работе с ненаправленными графами основной является формула
где: I – ток выбранной ветви графа, по отношению к которой и определяется входная или взаимная проводимость, Вmn – напряжение (или ток) источника питания, присоединенного зажимами к узлам m и n, Сr – произведение проводимостей ветвей пути между узлами m и n, проходящего по выбранной ветви, Δr – определитель системы, полученной из исходной при коротком замыкании ветвей выбранного пути*, Δ – определитель исходной электрической схемы.
Под деревом понимают совокупность ветвей, которые касаются всех узлов, но не образуют замкнутого контура. Из одного графа можно образовать несколько деревьев. Так, для простейшего графа рис. 1.11, а можно образовать три дерева, приведенные на рис. 1.11, б, в, г.
________________
*Число членов Сr·Δr равно числу возможных путей между узлами m и n, за исключением пути через источник питания схемы.
Величиной дерева называют произведение проводимостей ветвей этого дерева. Величина дерева рис. 1.11, б равна вс, величина дерева рис. 1.11, в – ас, величина дерева рис. 1.11, г – ав. Ветви не вошедшие в данное дерево называют хордами.