1. Резонанс токов

Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов (рис. 12.1). Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением.

. (12.1)

Для любого из узлов - 1 или 1’ справедлив первый закон Кирхгофа:

(12.2)

Применяя к (12.2) выражения (1.7) и (1.12), приведем его к виду

(12.3)

Подставим в (6.3) вместо u(t) его значение из (6.1) и решим его:

(12.4)

Векторная диаграмма, построенная по (12.4) приведена на рис. 12.2. В качестве исходного в ней принят общий для всех элементов цепи вектор напряжения . С этим вектором совпадает по направлению вектор тока через резистор. Его величина по модулю равна

.

Вектор тока через индуктивность – отстает от вектора напряжения,

а вектор тока через емкость – опережает его на 90°.

Проведем последовательное сложение векторов и . Результатом сложения является значение вектора тока – Он сдвинут по фазе относительно вектора напряжения на угол . Сумма векторов и дает значение вектора реактивного тока – . Модуль этого вектора определяется выражением:

. (12.5)

Векторы и образуют треугольник токов. Для этого треугольника справедливы выражения:

(12.6)

. (12.7)

Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов и . Тогда результирующий реактивный ток цепи и угол  будут равны нулю, а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (12.5) следует, что ток может быть равен нулю при соблюдении условия

. (12.8)

Выражение (12.8) позволяет определить

– резонансную частоту – ω₀, причем

; (12.9)

– значение одного из элементов L или С по заданному значению резонансной частоты – ω₀ и по известному значению другого элемента

. (12.10)

Определим значение тока всей цепи и токов, протекающих в ее ветвях в режиме резонанса. Действующее значение тока всей цепи на частоте легко найти по (12.6)

. (12.11)

Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи , т.е.

. (12.12)

Ток, протекающий через элемент L, определим по закону Ома:

. (12.13)

Подставляя в (12.13) вместо его значение из (12.11), получим:

(12.14)

Аналогично определим выражение для тока, протекающего через элемент С:

. (12.15)

Сопоставим выражения (12.8), (12.14) и (12.15). Видим, что токи Ì_0C и Ì_0L равны по величине и противоположны по фазе (см. рис. 12.3). Величина Q_к равна

, (12.16)

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи, протекающие в ветвях реактивных элементов, могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазные. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот.

При идеальных элементах L и С энергия источника на этот процесс не затрачивается. Она расходуется только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь рис. 12.1. называют параллельным колебательным контуром.

Чтобы завершить анализ цепи, рассмотрим зависимость токов ее ветвей и напряжения между узлами U от частоты (рис. 12.4). Ток, протекающий через элемент R - i_R, определяется законом Ома и не зависит от частоты. Ток через емкость i_c согласно (12.15) прямо пропорционален частоте, а ток через индуктивность i_L –обратно пропорционален. На частоте ω₀ они равны по величине, но противоположны по направлению. Общий ток цепи определяется суммой трех токов. Он имеет большое значение на частотах, значение которых значительно больше или меньше значения резонансной частоты.

На резонансной частоте общий ток принимает значение i_R. Физически это означает, что на резонансной частоте проводимость цепи минимальна (она равна проводимости только элемента R). Поэтому падение напряжения между узлами цепи максимально на частоте ω₀ и уменьшается при удалении от ω₀. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте.